Koordinatenform

Die Koordinatenform oder Koordinatengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Koordinatenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die Unbekannten der Gleichung sind dabei die Koordinaten der Punkte der Gerade oder Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Koordinatenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

Koordinatenform einer Geradengleichung

Koordinatenform einer Geradengleichung

Darstellung

In der Koordinatenform wird eine Gerade in der Ebene durch drei reelle Zahlen , und über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten (x,y) die Gleichung

erfüllen. Hierbei muss oder ungleich null sein. Bei den Zahlen und handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors $\vec n = (a,b)$ der Geraden. Der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung wird durch $| c | / | \vec n |$ angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, also ein Einheitsvektor, dann beträgt der Abstand gerade | c | .

Beispiel

Im Bild oben ist die Geradengleichung in Koordinatenform

$1x+2y=6$ .

Jede Wahl von (x,y) , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise (0,3) oder (4,1) , entspricht genau einem Geradenpunkt.

Spezialfälle

Falls ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, und falls ist, parallel zur y-Achse.
Falls ist, handelt es sich bei der Geraden um eine Ursprungsgerade.
Falls ist, liegt die Geradengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann und .

Berechnung

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lassen sich die Parameter der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung direkt ablesen:

Liegt eine Gerade in hessescher Normalform vor, kann der Parameter auch von dort übernommen werden.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Richtungsvektor ${\vec {u}}$ wird zunächst ein Normalenvektor der Geraden über $\vec n = ( -u_2, u_1 )$ bestimmt und daraus dann die Parameter der Geraden in Koordinatenform als

Aus der Zweipunkteform

Aus der Zweipunkteform einer Gerade durch die beiden Punkte (x_1,y_1) und (x_2,y_2) erhält man durch Ausmultiplizieren die Parameter der Koordinatenform

$a=y_{1}-y_{2},b=x_{2}-x_{1},c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}$ .

Koordinatenform einer Ebenengleichung

Koordinatenform einer Ebenengleichung

Darstellung

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Koordinatenform durch vier reelle Zahlen , , und beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten (x,y,z) die Gleichung

erfüllen. Hierbei muss , oder ungleich null sein. Bei den Zahlen , und handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors $\vec n = (a,b,c)$ der Ebene. Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung wird durch $| d | / | \vec n |$ angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, dann beträgt der Abstand gerade | d | .

Beispiel

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist

Jede Wahl von (x,y,z) , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise (1,0,1) oder (0,1,2) , entspricht genau einem Ebenenpunkt.

Spezialfälle

Falls ist, verläuft die Ebene parallel zur x-Achse, falls ist, parallel zur y-Achse, und falls ist, parallel zur z-Achse.
Falls ist, handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene.
Falls ist, liegt die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann , und .

Berechnung

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lassen sich die Parameter der Ebene in Koordinatenform ebenfalls durch Ausmultiplizieren ablesen:

Liegt eine Ebene in hessescher Normalform vor, kann der Parameter auch von dort übernommen werden.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und den beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene über das Kreuzprodukt ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$ bestimmt und daraus dann die Parameter der Ebene in Koordinatenform als

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor ermitteln und daraus dann die Koordinatenform.

Verallgemeinerung

Allgemein wird durch eine lineare Gleichung mit Unbekannten $x_1, \dotsc, x_n$ eine Hyperebene im -dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Eine Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten $(x_1, \dotsc, x_n)$ , deren Koordinaten die Gleichung

$a_{1}x_{1}+\dotsb +a_{n}x_{n}=b$

erfüllen. Hierbei muss zumindest einer der Parameter $a_1, \dotsc, a_n$ ungleich null sein.

Literatur

Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5.
Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-32186-3.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de