Satz von Myers-Steenrod

Der Satz von Myers-Steenrod ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie.

Er besagt, dass die Isometriegruppe jeder vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine Lie-Gruppe ist.

Der Satz stammt von Norman Steenrod und Sumner Byron Myers.

Beispiele

Die Isometriegruppe der Einheitssphäre $S^{n}$ ist die orthogonale Gruppe $O(n+1)$ .

Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene ist die projektive lineare Gruppe $PGL(2,\mathbb {R} )$ . Die Isometriegruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ist $PGL(2,\mathbb {C} )$ .

Beweisidee

In einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit wähle einen Punkt und seine Exponentialabbildung $\exp _{x}\colon T_{x}M\to M$ . Die Bilder der 1-dimensionalen Unterräume in T_xM unter der Exponentialabbildung sind genau die Geodäten durch . Aus der Vollständigkeit von folgt mit dem Satz von Hopf-Rinow, dass jeder Punkt in auf einer solchen Geodäten durch liegt.

Wähle nun $n=\dim(M)$ linear unabhängige Vektoren in T_xM und bezeichne mit $p_{1},\ldots ,p_{n}$ ihre Bildpunkte unter $\exp _{x}$ . Eine Isometrie bildet Geodäten in Geodäten ab und aus dem oben gesagten folgt, dass eine Isometrie durch die Bilder von $x,p_{1},\ldots ,p_{n}$ bereits eindeutig festgelegt ist.

Wir erhalten also eine Einbettung der Isometriegruppe $\operatorname {Isom} (M)$ in das Produkt von n+1 Kopien der Mannigfaltigkeit . Man kann zeigen, dass das Bild dieser Einbettung eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen in dieser Mannigfaltigkeitsstruktur differenzierbar sind. Damit wird $\operatorname {Isom} (M)$ eine Lie-Gruppe.

Verallgemeinerung

Allgemeiner ist die Isometriegruppe eines $RCD^{*}(K,n)$ -Raumes stets eine Lie-Gruppe. $RCD^{*}(K,n)$ -Räume sind eine Klasse metrischer Maßräume, die alle Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension $\leq n$ mit Ricci-Krümmung $Ric\geq K$ enthält und unter Gromov-Hausdorff-Konvergenz metrischer Maßräume abgeschlossen ist.

Basierend auf einem Artikel in:

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