Parabolische Isometrie

In der Mathematik sind parabolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei X ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Für eine Isometrie f\colon X\to X sei {\displaystyle d_{f}\colon X\to \mathbb {R} _{\geq 0}} definiert durch

{\displaystyle d_{f}(x)=d(f(x),x)}.

Die Isometrie ist parabolisch, wenn es kein x_{0}\in X mit

{\displaystyle d_{f}(x_{0})=\inf \left\{d_{f}(x)\colon x\in X\right\}}

gibt, wenn also das Infimum nicht angenommen wird.

Fixpunkt im Unendlichen

Eine parabolische Isometrie hat einen Fixpunkt im Unendlichen. Sie lässt alle Horosphären um diesen Punkt invariant.

Beispiel

Sei {\displaystyle X={\mathbf {H} }^{2}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\right\}} das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und f\colon X\to X eine durch

{\displaystyle f(z)=z+a}

mit a\in \mathbb{R} gegebene Abbildung. Aus der Definition der hyperbolischen Metrik folgt, dass f eine Isometrie ist und {\displaystyle d_{f}(z)={\frac {a}{\operatorname {Im} (z)}}} gilt. Insbesondere ist

{\displaystyle \inf \left\{d_{f}(z)\colon z\in \mathbf {H} ^{2}\right\}=0}.

Weil f in der hyperbolischen Ebene keinen Fixpunkt hat, gibt es aber kein {\displaystyle z\in \mathbf {H} ^{2}} mit {\displaystyle d_{f}(z)=0}, das Infimum wird also nicht angenommen. Die Isometrie f ist parabolisch.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen A\in SL(2,\mathbb{R} ) und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen {\displaystyle A\in SL(2,\mathbb {C} )} beschrieben werden. In beiden Fällen ist die durch eine Matrix A beschriebene Isometrie genau dann parabolisch, wenn für die Spur der Matrix

{\displaystyle \operatorname {Sp} (A)\in \left\{-2,2\right\}}

gilt. Das obige Beispiel entspricht der Matrix {\displaystyle \left({\begin{matrix}1&a\\0&1\end{matrix}}\right)}.

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.10. 2020