Elliptische Isometrie

In der Mathematik sind elliptische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

$f\colon X\to X$

ist eine elliptische Isometrie, wenn sie einen Fixpunkt hat, d.h. wenn es ein $x\in X$ mit f(x)=x gibt.

Beispiel

Sei $X={\mathbf {H} }^{2}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\right\}$ das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und $f\colon X\to X$ die durch

$f(z)=\frac{\cos(\phi)z+\sin(\phi)}{-\sin(\phi)z+\cos(\phi)}$

gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass eine Isometrie ist und den Fixpunkt z=i hat. Es ist also eine elliptische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen $A\in SL(2,\mathbb{R} )$ und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen $A\in SL(2,\mathbb {C} )$ beschrieben werden. Eine durch $A\in SL(2,\mathbb{R} )$ beschriebene Isometrie der hyperbolischen Ebene ist genau dann elliptisch, wenn für die Spur von die Ungleichung

$-2<\operatorname {Sp} (A)<2$

gilt. Für eine durch $A\in SL(2,\mathbb {C} )$ beschriebene elliptische Isometrie des hyperbolischen Raumes gilt notwendigerweise

$\mid \operatorname {Sp} (A)\mid \leq 2$ und $\operatorname {Sp} (A)\not \in \left\{-2,2\right\}$ .

Eigenschaften

Es sei ein vollständiger CAT(0)-Raum und $f\colon X\to X$ eine Isometrie.

ist genau dann elliptisch, wenn es einen beschränkten Orbit hat.
ist genau dann elliptisch, wenn es ein gibt, für das $f^{n}$

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de