Hyperwürfel

Projektion eines Tesseraktes (vierdimensionaler Hyperwürfel) in die 2. Dimension

Hyperwürfel oder Maßpolytope sind n-dimensionale Analogien zum Quadrat (n=2) und zum Würfel (n=3). Dabei kann n eine beliebige natürliche Zahl sein. Der vierdimensionale Hyperwürfel wird auch als Tesserakt bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines Hyperwürfels ist die Hyperoktaedergruppe.

Konstruktion regulärer Würfel

Reguläre Würfel der Kantenlänge a\neq 0 lassen sich wie folgt erzeugen:

HyperwürfelZeichnung.png

Grenzelemente

In einem Hyperwürfel der Dimension n befinden sich an jedem Knoten (Ecke) genau n Kanten. Demnach handelt es sich bei einem Hyperwürfel um einen ungerichteten Multigraph (siehe auch: Graphentheorie).

Der n-dimensionale Würfel wird von nulldimensionalen, eindimensionalen, …, {\displaystyle (n\!-\!1)}-dimensionalen Elementen begrenzt. Am Beispiel:

Der 3-dimensionale Würfel wird von Knoten (Punkten), Kanten (Strecken) und Flächen begrenzt, also von Elementen der Dimension 0,1 und 2.

Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente lässt sich aus folgender Überlegung ableiten: Sei ein Hyperwürfel von der Dimension {\displaystyle n\!+\!1} gegeben. Die k-dimensionalen Grenzelemente dieses Würfels (k_{{n+1}}) lassen sich folgendermaßen aus den Grenzelementen eines n-dimensionalen Hyperwürfels erzeugen: Die k-dimensionalen Grenzelemente (k_{{n}}) verdoppeln sich und alle {\displaystyle k\!-\!1} dimensionalen Elemente {\displaystyle (k\!-\!1)_{n}} werden zu k-dimensionalen erweitert. Somit ergibt sich in der Summe eine Anzahl von k_{{n+1}}=2k_{{n}}+(k-1)_{{n}}.

Beispiel
 

Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen n-dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem k-dimensionalen Grenzelement k Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von k Koordinatenachsen nicht nur ein k-dimensionales Grenzelement, sondern {\displaystyle 2^{n-k},} weil man durch jede der n-k zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt dieselben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten, k Achsen aus den n Achsen auszuwählen, mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit {\displaystyle {\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}} (mit dem Binomialkoeffizienten {\binom {n}{k}}).

Der Weg zum Hyperwürfel
Die 0- bis 5-dimensionalen Würfel in der Parallelprojektion
  Schläfli-
Symbol
Anzahl der Grenzelemente
0-dim. 1-dim. 2-dim. 3-dim. 4-dim. \ldots {\displaystyle (n\!-\!1)}-dim. n-dim.
Punkt () 1              
Strecke \{\} 2 1            
Quadrat {\displaystyle \{4\}} 4 4 1          
3-dim. Würfel {\displaystyle \{4,3\}} 8 12 6 1        
4-dim. Würfel {\displaystyle \{4,3,3\}} 16 32 24 8 1      
\vdots
n-dim.
Würfel
{\displaystyle \{4,3^{n-2}\}} 2^{n} n2^{{n-1}} {\displaystyle {\binom {n}{2}}2^{n-2}} {\displaystyle {\binom {n}{3}}2^{n-3}} \ldots \ldots {\displaystyle {\binom {n}{n-1}}2^{1}=2n} {\displaystyle {\binom {n}{n}}2^{0}=1}

Jedes k-dimensionale Grenzelement eines n-dimensionalen Würfels der Kantenlänge a ist für {\displaystyle 0<k\leq n} ein k-dimensionaler Würfel derselben Kantenlänge a. Damit hat ein 4-Hyperwürfel 16 Ecken, ein Kantennetz der Länge {\displaystyle 32a}, ist begrenzt von einem Flächennetz der Gesamtfläche {\displaystyle 24a^{2}} und von Zellen mit dem 3-Gesamtvolumen (der 3-dimensionalen Hyperfläche) von {\displaystyle 8a^{3}} und hat ein 4-Volumen von {\displaystyle a^{4}}.

Eigenschaften

Die Konstruktion der längsten Diagonalen von Quadrat, Würfel und Tesserakt

Der Name Maßpolytop kommt von der Möglichkeit, das Objekt parallel zu allen Koordinatenachsen auszurichten und den euklidischen Raum durch parallele Vervielfältigung restlos auszufüllen. Es ist das einzige regelmäßige Polytop, mit dem dies in Dimensionen n>4 gelingt. Für jede Dimension sind diese Parkettierungen selbstdual mit dem Schläfli-Symbol {\displaystyle \{4,3^{n-2},4\}.}

Die längste Diagonale eines Hyperwürfels entspricht der Quadratwurzel seiner Dimension multipliziert mit seiner Kantenlänge.

Maßpolytop (oder Hyperwürfel) und Kreuzpolytop (oder Hyperoktaeder) sind zueinander dual. Daher stimmen auch ihre Symmetriegruppen überein.

  winkeltreue Projektion in mögliche Operationen
Dimension Objekt 2-D 3-D 4-D schieben drehen winden stülpen
0 Punkt + + +
1 Linie + + + +
2 Quadrat + + + + +
3 Würfel + + + + +
4 Tesserakt + + + + +
Dimension Kanten Knoten Seiten Grad Durchmesser Kanten-Zusammenhang Knoten-Zusammenhang
1 1 2 2 1 1 1 1
2 4 4 4 2 2 2 2
3 12 8 6 3 3 3 3
4 32 16 8 4 4 4 4
... ... ... ... ... ... ... ...
n 2^{{(n-1)}}\cdot n 2^{n} 2n n n n n

Siehe auch

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 06.06. 2021