Kongruente Zahl

Dreieck mit dem Flächeninhalt 6, einer kongruenten Zahl.

In der Zahlentheorie sind kongruente Zahlen ganze Zahlen, welche sich als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen darstellen lassen.

Die Folge der kongruenten Zahlen (Folge A003273 in OEIS) beginnt mit

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, …

Beispiel: Die ganze Zahl 6 ist eine kongruente Zahl, denn das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a=3 und b=4 besitzt den Flächeninhalt $A = \tfrac{1}{2}ab = 6$ und nach dem Satz des Pythagoras die Hypotenuse $c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{9+16} = 5$ . Also ist die ganze Zahl 6 als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen eine kongruente Zahl.

Für jede positive ganze Zahl ist eine ganze Zahl genau dann eine Kongruenzzahl, wenn s^2 q eine Kongruenzzahl ist. Deshalb kann man sich bei der Lösung des Kongruenzzahl-Problems auf quadratfreie Zahlen beschränken.

Allgemeiner werden auch alle rationalen Zahlen, die als Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen auftreten, als kongruente Zahlen bezeichnet.

Kongruente Zahlen im Bereich 1 bis 20

Die folgenden ganzen Zahlen im Bereich 1 bis 20 sind kongruent, da sie sich als Flächeninhalt $A = \tfrac{1}{2}ab$ eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Katheten und und rationaler Hypotenuse $c = \sqrt{a^2+b^2}$ darstellen lassen:

Rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b.

Kathete	Kathete	Hypotenuse
${\tfrac {3}{2}}$	$\tfrac{20}{3}$	$\tfrac{41}{6}$

$\tfrac{35}{12}$	$\tfrac{24}{5}$ /TD>	$\tfrac{337}{60}$
$\tfrac{780}{323}$	$\tfrac{323}{30}$	$\tfrac{106921}{9690}$
${\tfrac {8}{3}}$	$\tfrac{63}{6}$	$\tfrac{65}{6}$
	$\tfrac{15}{2}$	$\tfrac{17}{2}$
	$\tfrac{40}{3}$	$\tfrac{41}{3}$

Satz von Fermat

Der französische Mathematiker Pierre de Fermat bewies, dass die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Seitenlängen keine Quadratzahl sein kann. Dies ist äquivalent dazu, dass weder 1 noch jede andere Quadratzahl eine kongruente Zahl ist. Sein Resultat teilte er 1659 in einem Brief an Pierre de Carcavi mit, den Beweis notierte er in einer Anmerkung, die 1670 postum veröffentlicht wurde. Fermat geht von der seit der Antike bekannten Darstellung eines primitiven pythagoreischen Tripels als x²+y², x²−y², 2xy aus und verwendet die von ihm eingeführte Methode des unendlichen Abstiegs, eine Variante der vollständigen Induktion. Sein Beweis zeigt auch, dass die Gleichung a⁴+b⁴=c⁴ keine Lösung mit positiven ganzen Zahlen a, b, c hat (ein Spezialfall der Fermatschen Vermutung).

Satz von Tunnell

Der Satz von Tunnell, benannt nach Jerrold B. Tunnell, gibt notwendige Bedingungen dafür, dass eine Zahl kongruent ist.

Für eine quadratfreie ganze Zahl definiere

$\begin{align} A_n & = \#\{ x,y,z \in \mathbb{Z} \mid n = 2x^2 + y^2 + 32z^2 \}, \\ B_n & = \#\{ x,y,z \in \mathbb{Z} \mid n = 2x^2 + y^2 + 8z^2 \}, \\ C_n & = \#\{ x,y,z \in \mathbb{Z} \mid n = 8x^2 + 2y^2 + 64z^2 \}, \\ D_n & = \#\{ x,y,z \in \mathbb{Z} \mid n = 8x^2 + 2y^2 + 16z^2 \}. \end{align}$

Wenn eine ungerade Kongruenzzahl ist, dann muss 2A_n=B_n sein, wenn eine gerade Kongruenzzahl ist, dann muss 2C_n=D_n sein.

Falls die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer für elliptische Kurven der Form y^2=x^3-n^2x gilt, dann sind diese Bedingungen auch hinreichend. Dann wäre die natürliche Zahl n genau dann kongruent, wenn die abelsche Gruppe der rationalen Punkte der elliptischen Kurve E_n : y^2=x^3-n^2x einen Rang mindestens 1 hat.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de