Zentraler Grenzwertsatz

Annäherung von symmetrischen (oben) und schiefen (unten) Binomialverteilungen (rot) an die Normalverteilung (grün)

Bei den Zentralen Grenzwertsätzen handelt es sich um eine Familie schwacher Konvergenzaussagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die zu den Grenzwertsätzen der Stochastik gezählt werden. Allen gemeinsam ist die Aussage, dass die Summe einer großen Anzahl von unabhängigen Zufallsvariablen asymptotisch einer stabilen Verteilung folgt. Bei endlicher und positiver Varianz der Zufallsvariablen ist die Summe annähernd normalverteilt, was die Sonderstellung der Normalverteilung erklärt.

Die wichtigste und bekannteste Aussage wird auch einfach als Der Zentrale Grenzwertsatz bezeichnet und befasst sich mit unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen, deren Erwartungswert und Varianz endlich sind. Diese Aussage ist auch bekannt als Grenzwertsatz von Jarl Waldemar Lindeberg/Paul Lévy

Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen, für die eine identische Verteilung keine notwendige Voraussetzung ist. Stattdessen wird dann eine andere Voraussetzung gefordert, die sicherstellt, dass keine der Variablen zu großen Einfluss auf das Ergebnis erhält. Beispiele sind die Lindeberg-Bedingung und die Ljapunow-Bedingung. Darüber hinausgehende Verallgemeinerungen gestatten sogar „schwache“ Abhängigkeit der Zufallsvariablen.

Die Bezeichnung geht auf George Pólya's Arbeit Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem von 1920 zurück.

Der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik bei identischer Verteilung

Sei X_{1},X_{2},X_{3},\dots eine Folge von Zufallsvariablen, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß P alle dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen und unabhängig sind (u.i.v. = unabhängig und identisch verteilt, engl. i.i.d. = independent and identically distributed). Sei weiter angenommen, dass sowohl der Erwartungswert \mu als auch die Standardabweichung \sigma >0 existieren und endlich sind.

Betrachten wir nun die n-te Teilsumme dieser Zufallsvariablen S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}. Der Erwartungswert von S_{n} ist n\mu und die Varianz ist n\sigma ^{2}. Bildet man daraus die standardisierte Zufallsvariable

Z_{n}={\frac  {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt  {n}}}},

dann besagt der Zentrale Grenzwertsatz, dass die Verteilungsfunktion von Z_{n} für n\to \infty punktweise gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(0,1) konvergiert. Dies entspricht genau dem Begriff der Konvergenz in Verteilung in der Stochastik. Ist \Phi (z) die Verteilungsfunktion von N(0,1), dann bedeutet dies, dass für jedes reelle z

\lim _{{n\to \infty }}P(Z_{n}\leq z)=\Phi (z).

In etwas anderer Schreibweise erhält man

\lim _{{n\rightarrow \infty }}P\left({\frac  {\overline {X}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt  {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z),

wobei

\overline {X}_{n}={\frac  {S_{n}}n}={\frac  {X_{1}+\cdots +X_{n}}n}

der Mittelwert der ersten n Summanden der Zufallsvariablen ist.

Bemerkungen

Verallgemeinerungen

Hauptartikel: Zentrale Grenzwertsätze
Eine Verallgemeinerung des Zentralen Grenzwertsatzes ist der mehrdimensionale Zentrale Grenzwertsatz. Er liefert Aussagen über die Konvergenz der Verteilungen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Standardnormalverteilung.

Eine weitere Verallgemeinerung ist der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller. Er lässt auch gewisse Abhängigkeiten zwischen den Zufallsvariablen zu, indem er sie zu Gruppen zusammenfasst und die Unabhängigkeit nur innerhalb dieser Gruppen fordert. Die Folge dieser Gruppen wird ein Schema von Zufallsvariablen genannt. Die Lindeberg-Bedingung und die Ljapunow-Bedingung lassen sich auch für Schemata von Zufallsvariablen formulieren und liefern damit Kriterien für die Konvergenz bei Verwendung von Schemata.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.08. 2019