Dynamisches System (Systemtheorie)

Ein dynamisches System ist eine abgegrenzte zeitabhängige Funktionseinheit, die durch ihre Signaleingänge und Signalausgänge in einer Wechselwirkung mit der Umwelt steht. Das System kann beispielsweise ein mechanisches Gebilde, ein elektrisches Netzwerk, aber auch ein biologischer Vorgang oder ein Bestandteil der Volkswirtschaft sein.

Das System hat mindestens einen Signaleingang und einen Signalausgang und reagiert zu einem bestimmten Zeitpunkt auf ein beliebiges Eingangssignal mit einer bestimmten zeitlichen Reaktion auf das Ausgangssignal. Die in dem System enthaltenen Energiespeicher als Ursache des Zeitverhaltens können je nach Beobachtungszeitpunkt gewollt oder ungewollt einen Systemzustand ≠ 0 im Zustandsraum einnehmen, bei dem sich die Wirkung des Eingangssignals mit dem Systemverhalten und dem Systemzustand auf das Systemausgangssignal überlagert.

Elementare Begriffe des dynamischen Systems

Ein technisches dynamisches System enthält einen oder mehrere Energiespeicher, die konzentriert oder räumlich verteilt angeordnet sind. Häufig werden bei Systemberechnungen zur Vereinfachung konzentrierte Energiespeicher angenommen. Dynamische Systeme mit konzentrierten Systemspeichern enthalten Variablen als Funktion der Zeit. Dynamische Systeme mit räumlicher Verteilung der Systemspeicher enthalten Variablen als Funktionen der Zeit und des Ortes.

Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen, wobei die Systemeingangsgröße als Ursache und die Systemausgangsgröße als zeitliche Auswirkung definiert ist.

Ferner können die internen Energiespeicher Anfangswerte enthalten, wenn das Signalverhalten eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_{0}\,$ innerhalb eines Einschwingvorgangs für $t>0\,$ betrachtet werden soll.

Das Ausgangs-Eingangsverhalten dieser Systeme kann linear, kontinuierlich nichtlinear, diskontinuierlich nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und totzeitbehaftet sein. Dies gilt für Eingrößen- und Mehrgrößensysteme.

Definition Linearität: Ein System verhält sich linear, wenn es das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip) und das Verstärkungsprinzip erfüllt.

Eine grafische Darstellung des Ausgangs-Eingangsverhaltens des linearen dynamischen Systems mit asymptotisch stabilem Verhalten muss nach genügend langer Zeit immer eine unbegrenzte Gerade zeigen, die vom Ursprung versetzt sein kann.

Systemtrennung in statisches nichtlineares System und lineares dynamisches System.

Definition nichtlineares System: Statische kontinuierlich nichtlineare Systeme ändern ihre Verstärkung nach einer bestimmten Funktion. Nichtlineare dynamische Systeme bereiten in der Systemberechnung Probleme, weil sie selten analytisch lösbar sind. Übliche Systembeschreibungen erfolgen durch die numerische zeitdiskrete Berechnung mit logischen Befehlen und Differenzengleichungen. Nichtlineare dynamische Systeme können zur einfacheren Berechnung auch durch Modelle in Kombinationen von nichtlinearen Systemen ohne Zeitverhalten und linearen dynamischen Systemen aufgeteilt werden, z.B. nach dem Hammerstein-Modell. Nichtlineare statische Modelle sind meist Unikate.

Komplexe dynamische Systeme bestehen allgemein aus mehreren Teilsystemen bestimmter Struktur, die in Signalflussplänen (Blockschaltbildern) als Reihen-, Parallel- und Rückführschaltungen dargestellt werden.

Statische lineare oder nichtlineare Systeme haben keine Energiespeicher und damit kein Zeitverhalten. Das Ausgangs-Eingangsverhalten wird durch algebraische oder transzendente Funktionen oder Wertetabellen beschrieben.

Mathematische Verfahren zur Systembeschreibung und Systemberechnung

Mathematische Modelle der dynamischen Systeme werden je nach Kenntnis und Verfügbarkeit der Systemparameter durch verschiedene mathematische Beschreibungsmethoden gekennzeichnet bzw. angenähert.

Die bekannteste Systembeschreibung ist die Differenzialgleichung. Andere bekannte Systembeschreibungen der dynamischen Systeme lassen sich von den Differenzialgleichungen entwickeln, wie die Übertragungsfunktion mit dem komplexen Frequenzbereich F(s), der Frequenzgang F(jω), die Zustandsraumdarstellung f(t) und die für die numerische Berechnung benötigten Differenzengleichungen f(k,Δt).

Die Berechnung dynamischer Systeme dient der Kenntnis des Ausgangs-Eingangsverhaltens und der Systemanalyse. Je nach Art des dynamischen Systems eignen sich verschiedene mathematische Beschreibungs- und Berechnungsverfahren.

Dynamische Systeme mit Totzeitverhalten (Transportzeit) können praktisch nur mit numerischen zeitdiskreten Verfahren berechnet werden.

Übersicht Differenzialgleichungen

Gewöhnliche Differenzialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Eine gewöhnliche Differenzialgleichung ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Die Bezeichnung „gewöhnlich“ bezieht sich darauf, dass die gesuchte Funktion nur von einer Variablen abhängt. Eine lineare gewöhnliche Differenzialgleichung enthält die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz. Die gesuchte Funktion darf auch nicht in Argumenten von Winkelfunktionen, Logarithmen usw. erscheinen, anderenfalls wird die Differenzialgleichung nichtlinear. Nichtlineare Differenzialgleichungen mit den verschiedenen Arten der Nichtlinearität sind nur in sehr seltenen Ausnahmefällen analytisch lösbar. Solche dynamischen Systeme können mittels der numerischen zeitdiskreten Methoden beschrieben und berechnet werden.

Die häufigsten mathematischen Systembeschreibungen linearer Systeme sind gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Zur Aufstellung der Differenzialgleichungen höherer Ordnung werden Bilanzgleichungen der Energie / Materie-Speicher benötigt. Systeme mit konzentrierten Speichern erfordern für jede Speicherfunktion eine Differenzialgleichung 1. Ordnung.

Bei dynamischen Systemen in Form ausgeführter technischer Anlagen stehen Differentialgleichungen selten zur Verfügung. Das Systemverhalten muss erst noch analysiert und dann formuliert werden.

Beispiel einer gewöhnlichen Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten a und b für ein System mit dem Ausgangssignal y(t) und Eingangssignal u(t):

$a_{n}y^{{(n)}}+\ldots +a_{2}{\ddot y}+a_{1}{\dot y}+a_{0}y=b_{{m}}u^{{(m)}}+\ldots +b_{2}{\ddot u}+b_{1}{\dot u}+b_{0}u\,$

Konventionelle Lösung der gewöhnlichen Differenzialgleichung:

Die Lösung einer Differenzialgleichung (DGL) erfolgt immer durch Integration und ist eine Funktion, nicht ein Wert.

Mit dem Lösungsansatz $y=e^{{\lambda }\cdot t}\,$ (λ = Nullstelle) ergibt sich ein universelles Lösungsverfahren für die homogene Lösung der DGL beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten (siehe Charakteristische Gleichung).

Gesamtlösung besteht aus zwei Lösungsanteilen: y(t) = Homogene Lösung y_H(t) + Partikuläre Lösung y_P(t)

Homogene Lösung: $y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{{\lambda }_{1}\cdot t}}+C_{2}\cdot e^{{{\lambda }_{2}\cdot t}}+C_{3}\cdot e^{{{\lambda }_{3}\cdot t}}+\cdots$

Bedingung: Die homogene Lösung bezieht sich nur auf Anfangswerte. Die System-Eingangserregung ist Null. Nachteil: Umständliche Berechnung der Integrationskonstanten C.

Partikuläre Lösung für $y_{p}(t)\,$ der DGL über das Faltungsintegral oder über die Laplace-Transformation.

Bedingung: Alle Anfangswerte sind gleich Null. Die Eingangserregung ist von Null verschieden. Das Faltungsintegral für Systeme höherer Ordnung ist schwierig zu lösen.

Lösung des zeitlichen Systemverhaltens aus der Übertragungsfunktion der DGL bei einem gegebenen Eingangssignal U(s):

Bei der gewöhnlichen DGL höherer Ordnung eignet sich besser der Lösungsweg über die Laplace-Transformation oder über die numerische Berechnung mit der diskreten Zeit. Bei der Anwendung zur Lösung einer DGL über die Übertragungsfunktion mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation wird die analytische Lösung im Zeitbereich über den Suchbegriff in der Laplace-Transformationstabelle in Operatorenschreibweise gefunden.

$y(t)={\mathcal {L}}^{{-1}}\underbrace {\left\{G(s)\cdot U(s)\right\}}_{{\text{Suchbegriff}}}$

Differenzialgleichung höherer Ordnung mit variablen Koeffizienten
- Sind diese Koeffizienten oder nur ein Koeffizient dieser Differenzialgleichung variabel, dann ändert sich das Zeitverhalten des dynamischen Systems, d.h. eine Sprungantwort des Systems für einen gegebenen Eingangssprung nimmt einen anderen zeitlichen Verlauf. Dieses Verhalten wird leicht verständlich, wenn man die Laplace-transformierte Differenzialgleichung als Übertragungsfunktion betrachtet.
- Sind die Koeffizienten zeitabhängig, führt dieses zu zeitvariantem Systemverhalten, d.h. das Zeitverhalten des Systems ist zu unterschiedlichen Zeitpunkten für t > t₀ unterschiedlich. Systembeispiel: Wenn bei einer beschleunigten Rakete die Masse des Treibstoffs sich ändert.

Partielle Differenzialgleichung

Bei partiellen Differenzialgleichungen hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab. Es wird nach mehreren Variablen abgeleitet. Die Anwendung dieser Gleichung erfolgt z.B. bei dynamischen Systemen mit Zeit- und Ortskoordinaten.

Systembeispiel: Signalübertragung bei langen elektrischen Leitungen oder Wärmefluss in homogenen Medien (Flüssigkeiten, Metalle, Stein).

Grundlagen Laplace-Übertragungsfunktion

Blockdiagramm einer Übertragungsfunktion als Ein- und Mehrgrößensystem.

Die Übertragungsfunktion G(s)=Y(s)/U(s) mit der komplexen Frequenz s entsteht aus der Laplace-Transformation einer linearen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Zerlegung der entstehenden Polynomgleichung erfolgt durch die Pol-Nullstellenbestimmung (s_p und s_n) in Linearfaktoren. Die Darstellungsformen der Übertragungsfunktion als rational gebrochene Funktion unterscheiden die faktorisierte Pol-Nullstellendarstellung und die Zeitkonstantendarstellung.

$\underbrace {(s-s_{p})}_{{\text{Produktterm}}}=\underbrace {s_{p}\cdot \left({\frac 1{s_{p}}}\cdot s+1\right)}_{{s_{p}={\text{negativer Wert}}}}=\underbrace {k\cdot (T\cdot s+1)}_{{\text{Zeitkonstantendarstellung}}}$

Weitere Entstehungsweisen sind über System-Identifikationsmethoden mittels Testsignalen, durch Messen des Frequenzgangs $G(j\omega )$ des Systems oder über Spannungsteiler aus einem rückwirkungsfreien Impedanzverhältnis möglich.

Die Übertragungsfunktion ist die häufigste Systemdarstellung, weil nur 3 Formen – je im Zähler und Nenner – von Linearfaktoren oder deren Vielfache von differenzierenden und verzögernden linearen elementaren Grundsystemen existieren und die Wiedererkennung des Systems anhand der Gleichung hoch ist.

Alle Terme im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion können algebraisch behandelt werden. Im Zeitbereich bestimmen Linearfaktoren im Nenner das Systemzeitverhalten und wirken integrierend oder zeitverzögernd. Linearfaktoren im Zähler bestimmen die Größe der Amplituden und haben ein differenzierendes Verhalten.

Die Übertragungsfunktion in Polynom-Darstellung und Zeitkonstanten-Darstellung mit T = 1/s_p und Tv = 1/s_n lautet:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{{m}}s^{{m}}+\ldots +b_{2}s^{2}+b_{{1}}s+b_{{0}}}{a_{n}s^{{n}}+\ldots +a_{2}s^{2}+a_{{1}}s+a_{{0}}}}=K\cdot {\frac {{(T_{{V1}}\cdot s+1)(T_{{V2}}\cdot s+1)\dotsm (T_{{Vm}}\cdot s+1)}}{{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)\dotsm (T_{n}\cdot s+1)}}}$

Zustandsraummodell eines Übertragungssystems 1. Ordnung.

Begriffsklärung Zustandsraumdarstellung

Unter dem Begriff Zustandsraumdarstellung versteht man die Beschreibung eines dynamischen Übertragungssystems durch seine Zustandsgrößen (= Zustandsvariablen). Dabei wird die systembeschreibende Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit n konzentrierten Energiespeichern in n Differenzialgleichungen 1. Ordnung zerlegt und in eine Matrizen/Vektor-Darstellung gebracht. Die Zustandsvariablen beschreiben physikalisch den Energiegehalt der in einem technischen dynamischen System enthaltenen Speicherelemente.

Lineare und nichtlineare dynamische Systeme, auch Mehrgrößensysteme können so behandelt werden. Lineare dynamische Systeme mit Anfangswerten können relativ einfach mit der Regelungsnormalform des Zustandsraumes numerisch berechnet werden, ohne Überführung in die Matrizen/Vektor-Darstellung.

Grundlagen „Numerische Berechnung dynamischer Systeme“

Rechteck-Approximation eines PT1-Gliedes durch Berechnung mit einer Differenzengleichung.

Für die Berechnung linearer und nichtlinearer totzeitbehafteter Systeme kommt praktisch nur die numerische Berechnung mit der diskreten Zeit Δt infrage. Sie entspricht in der einfachsten Form der menschlichen Denkweise für ein lineares System in Operatorendarstellung des Ausgangssignals $y_{{(k\cdot t)}}$ für ein gegebenes Eingangssignal $u_{{(k\cdot t)}}$ .

$y_{{(k\cdot t)}}=f({\text{System}},k,\Delta t,u_{{(k\cdot t)}})$

Je nach der Systemeigenschaft wird schrittweise für eine kleine Zeitdifferenz ein neues Ausgangssignal $y_{{(k)}}$ berechnet. Für jede neue Berechnungsfolge $k=(0;1;2;3\cdots k_{i})$ eines Teilsystems bezieht sich das aktuelle Ausgangssignal $y_{{(k)}}$ additiv auf eine zurückliegende Folge $y_{{(k-1)}}$ .

Numerische Lösungen der Berechnung des Systemverhaltens sind üblicherweise tabellarisch in k_i Zeilen dargestellt. Jede Zeile enthält die gleichen logischen Befehle (bei Nichtlinearität) und Differenzengleichungen.

Differenzengleichung

Differenzengleichungen beschreiben im einfachsten Falle Differenzialgleichungen 1. Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten $\Delta y/\Delta t$ ausgetauscht wurden. Sämtliche linearen Systeme höherer Ordnung können mit Hilfe von 4 Arten von Differenzengleichungen beschrieben werden, auch schwingende Systeme mit konjugiert komplexen Polpaaren.

Beispiel der Integrationsfunktion in Operatorendarstellung:

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}$

Abgetastete lineare dynamische Systeme im Online-Betrieb wie auch Simulationen von dynamischen Systemen werden mit Differenzengleichungen berechnet

Einfache Berechnungsbeispiele linearer Systeme

Fremderregter Gleichstrom-Nebenschlussmotor

Es handelt sich um ein lineares asymptotisch stabiles System mit einem Systemeingang u(t) als Ankerspannung und einem Systemausgang y(t) als Drehzahl. Dieses System wird durch eine gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung beschrieben (Zeitverzögerungen: Induktivität der Magnetspulen, Magnetkraft zur Beschleunigung der Ankermasse).

Sprungantworten von 4 in Reihe geschalteten PT1-Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten T = 1[s].

Die Ruhelage des Systems ist nach genügend langer Zeit proportional abhängig von der Größe des Eingangssignals.

Es handelt sich um ein Verzögerungssystem 2. Ordnung, das im komplexen Frequenzbereich 2 reelle Pole aufweist.

Systembeschreibende gewöhnliche Differenzialgleichung mit den Koeffizienten a_n und b_m:

$a_{2}\cdot {\ddot y}(t)+a_{1}\cdot {\dot y}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)\,$

Bei Anwendung der Laplace-Transformation der Differenzialgleichung entsteht die Polynomdarstellung der Übertragungsfunktion G(s). Mit Hilfe der Pol- Nullstellenzerlegung ergibt sich die Produktdarstellung der Übertragungsfunktion.

Übertragungsfunktion in Zeitkonstantendarstellung:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {K}{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)}}$

Lösung der Funktion der Systemausgangsgröße mit Hilfe der Laplace-Transformationstabellen für einen normierten Eingangssprung 1(t): ${\mathcal {L}}^{{-1}}\,\{1(t)\}=1/s$

$y(t)=K\cdot [1+{\frac 1{T_{2}-T_{1}}}({T_{1}\cdot e^{{-{\frac t{T_{1}}}}}}-{T_{2}\cdot e^{{-{\frac t{T_{2}}}}}})]$

Signalflussplan der Regelungsnormalform für ein System 2. O. ohne Differentiale des Eingangssignals u(t) zur Bestimmung der Zustandsvariablen x1(t), x2(t).

Feder-Masse-Dämpfungssystem (Senkrecht schwingendes Federpendel) mit Signaleingang

Im universitären Fachbereich technischer Studienrichtungen wird das Federpendel in vielen Fällen als System mit einem Eingang und einem Ausgang definiert. Das linear gedämpft schwingende System verfügt meist über einen Systemeingang u(t) mit einer einwirkenden Kraft auf die Feder und einen Systemausgang y(t) als Position (Lage) der Masse. Die Ruhelage der Masse ist nach genügend langer Zeit abhängig von der Eingangsgröße u(t), von der Federkraft und der Masse.

Es handelt sich um ein lineares Verzögerungssystem 2. Ordnung, das im komplexen Frequenzbereich ein konjugiert komplexes Polpaar aufweist. Das System schwingt gedämpft, wenn die Größe des Dämpfungsgrades D im Bereich 0<D<1

liegt.

Differenzialgleichung der Schwingbewegung mit Signaleingang u(t) und Signalausgang y(t):

(m = Masse, d = Dämpfungskonstante, k = Federkonstante, b₀ = Faktor)

$m\cdot {\ddot y}(t)+d\cdot {\dot y}(t)+k\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)\,$

Diese Differenzialgleichung kann mittels der Laplace-Transformation als Übertragungsfunktion G(s) dargestellt werden:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{0}}{m\cdot s^{2}+d\cdot s+k}}$

Zeitverhalten der Position der Masse des Federpendels ohne Signaleingang. Periode: 2,5 sec, Dämpfung D = 0,15. Beispiel Zahlenwerte: m = 0,16; d = 0,12; k = 1; y₀ = 1

Nach Ermittlung der Pole des Nennerpolynoms ergeben sich für ein schwingendes System konjugiert komplexe Pole.

Die allgemeine Form der Übertragungsfunktion eines schwingenden Systems in der Zeitkonstantendarstellung mit dem Verstärkungsfaktor K lautet: (K = b₀ / k, T² = m / k, 2DT = d / k)

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac K{T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}}$

Wenn Zahlenwerte vorliegen, kann der Dämpfungsgrad D der Schwingung und die Periodendauer 1 / T der ungedämpften Schwingung aus dieser Gleichung durch Faktorenvergleich bestimmt werden.

Die Lösung des Verhaltens der Ausgangsgröße y(t) für ein gegebenes Signal der Eingangsgröße u(t) als U(s) lässt sich über die Laplace-Transformationstabellen oder der numerischen Berechnung des Signalflussplanes der Zustandsraumdarstellung mittels Differenzengleichungen finden.

Senkrecht schwingendes Federpendel ohne Signaleingang:

Siehe nebenstehendes Bild!

Das Federpendel kann auch als ein System mit einem Eingangssignal = Null zum Zeitpunkt $t_{0}$ mit den Anfangswerten der Federkraft und Masse definiert werden. In diesem Fall ist das System zum Zeitpunkt $t_{0}$ sich selbst überlassen und strebt eine Ruhelage an, die durch die Federkraft und Masse bestimmt wird.

Differenzialgleichung der Schwingbewegung ohne Signaleingang mit der Masse , der Dämpfungskonstante und der Federkonstante :

$m\cdot {\ddot y}(t)+d\cdot {\dot y}(t)+k\cdot y(t)=0\,$

Lösung der Gleichung durch Freistellung der höchsten Ableitung:

${\ddot y}(t)=-{\frac dm}{\dot y}(t)-{\frac km}y(t)\quad {\Bigg |}$ Anfangswerte: ${\dot y}_{0},\ y_{0}$

Die Gleichung kann nach dem Signalflussplan der Regelungsnormalform der Prinzip der Zustandsraumdarstellung gelöst werden, indem ${\ddot y}(t)$ zweimal integriert wird. Die beiden Integratoren des Signalflussplanes werden auf die Anfangswerte gesetzt. Die Ausgänge der Integratoren sind die Zustandsvariablen. Die Funktion des Signalflussplanes kann numerisch nachgebildet und berechnet werden, wenn Zahlenwerte vorliegen. Die Bewegung mit der Amplitude y=f(t)

ist die Lösung.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de