Pfadordnung
Pfadordnung ist eine in der theoretischen
Physik gebräuchliche mathematische Operation, gekennzeichnet durch den
Pfadordnungsoperator .
Pfadordnung erlaubt die Verallgemeinerung bestimmter Reihenentwicklungen
auf nichtkommutative
algebraische
Strukturen, wie sie in der Quantentheorie und Quantenfeldtheorie
auftreten. Grob gesprochen entsteht durch die fehlende Vertauschbarkeit der Operatoren
in Produkten
eine natürliche „Ordnung“, die kompakt durch Pfadordnung ausgedrückt werden
kann.
In nichtrelativistischen
Theorien ist insbesondere Zeitordnung, d.h. Pfadordnung nach dem
Parameter Zeit, von Bedeutung. Diese wird durch den Zeitordnungsoperator
oder
gekennzeichnet.
Der Pfadordnungsoperator (und damit auch der Zeitordnungsoperator) ist kein linearer Operator und wird deshalb manchmal auch als „Meta-Operator“ oder „Symbol“ bezeichnet.
Definition
Für ein Produkt von linearen
Operatoren ,
die von einem Parameter
abhängen, ist das pfadgeordnete Produkt als jene Permutation
der Faktoren definiert
,
sodass die Operatoren nach dem Wert der Parameter geordnet auftreten:
Tritt ein Parameterwert mehrfach auf, so ist die Pfadordnung nicht definiert. Da bei pfadgeordneten Produkten aber in der Regel über den Parameter integriert wird, verschwindet das Maß solcher Punkte. Das Vorzeichen ist für Bosonen immer +1, für Fermionen gleich dem Vorzeichen der Permutation (+1 falls die Anzahl an Vertauschungen gerade ist, ansonsten −1).
Beispiel: Kausale Greensche Funktion
In der theoretischen Festkörperphysik
ist die kausale
Greensche
Funktion
von Bedeutung, die die Propagation
eines Elektrons
bzw. eines Loches
in der Zeit angibt. In zweiter
Quantisierung lässt sich diese Funktion mit Hilfe der Zeitordnung kompakt
anschreiben:
Pfadgeordnetes Exponential
Häufig tritt Zeitordnung innerhalb einer Reihenentwicklung auf. Hier hat sich die zeitgeordnete Exponentialfunktion eingebürgert:
Dies lässt sich auf beliebige Funktionen des Operators verallgemeinern.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.01. 2019