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Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)

Die eulerschen Gleichungen oder genauer eulerschen Kreiselgleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Sie sind Differentialgleichungen im körperfesten (mitrotierenden) System des Kreisels, wobei meist ein Hauptachsensystem gewählt wird, mit der Winkelgeschwindigkeit \vec\omega_{\rm H} in Hauptachsenkoordinaten als Variable und den Hauptträgheitsmomenten I_1, I_2, I_3 als Koeffizienten.

Die eulerschen Gleichungen sind nicht zu verwechseln mit den eulerschen Winkeln, die die Orientierung eines körperfesten Koordinatensystems in Bezug auf ein raumfestes Koordinatensystem beschreiben.

Eulersche Gleichungen im lokalen Bezugssystem und im Spezialfall des Hauptachsensystems

In körperfesten lokalen Koordinaten lauten die Eulerschen Gleichungen

 \vec{M}_{\rm L} = \vec{\omega}_{\rm L} \times \left(\bar I_{\rm L}\,\vec{\omega}_{\rm L}\right) + \bar I_{\rm L}\dot{\vec{\omega}}_{\rm L}

wobei \vec{M}_{\rm L} das applizierte Drehmoment in lokalen Koordinaten ist, \vec{\omega}_{\rm L} die Drehgeschwindigkeit in lokalen Koordinaten und \bar I_{\rm L} der Trägheitstensor in lokalen Koordinaten.

Im Hauptachsensystem als spezielles lokales Bezugssystem hat der Trägheitstensor Diagonalgestalt \bar I_{\rm H}=\begin{pmatrix}I_{\rm H1}&0&0\\0&I_{\rm H2}&0\\0&0&I_{\rm H3}\end{pmatrix}. In diesem System ergibt sich für die Eulerschen Gleichungen in Komponenten die besonders einfache Darstellung

 M_{\rm H1}=I_1 \dot{\omega}_{\rm H1} +(I_3 - I_2) \omega_{\rm H2}\omega_{\rm H3}
 M_{\rm H2}=I_2 \dot{\omega}_{\rm H2}+(I_1 - I_3) \omega_{\rm H3}\omega_{\rm H1}
 M_{\rm H3}=I_3 \dot{\omega}_{\rm H3}+(I_2 - I_1) \omega_{\rm H1}\omega_{\rm H2}.

Herleitung

Die eulerschen Gleichungen folgen aus dem Drehimpulssatz, der gegeben ist durch

\dot{\vec L}= \vec M,

wobei \vec L der Drehimpuls und \vec M die Summe aller von außen auf den Körper wirkenden Drehmomente im raumfesten Inertialsystem ist. Setzt man in diese Gleichung die Formel für den Drehimpuls \vec L = \bar I \vec\omega mit dem Trägheitstensor \bar I und der Winkelgeschwindigkeit \vec\omega ein, erhält man

\frac{d}{d t}\left(\bar I \vec\omega\right)=\vec M.

Durch Transformation ins lokale Bezugssystem wird der im Inertialsystem im Allgemeinen durch die Rotation zeitabhängige Trägheitstensor \bar I des Starrkörpers zeitunabhängig.

Setzt man die Transformationsmatrix vom Inertialsystem ins lokale Bezugssystem mit orthogonalen Transformationsmatrizen R (zeitabhängigen Drehmatrizen mit zugehöriger Winkelgeschwindigkeit \vec \omega) ein, so ergibt sich:

 \vec{M} = \frac{d}{dt}\vec{L} = \frac{d}{dt}\left(R \bar I_{\rm L} R^T\cdot \vec{\omega}\right)=
\dot R \bar I_{\rm L} R^T \vec\omega + R \bar I_{\rm L} \dot R^T \vec\omega + \bar I \dot{\vec\omega}=
 \dot R R^T \bar I \vec\omega + \bar I R\dot R^T \vec\omega + \bar I \dot{\vec\omega}

Dabei wurden wie üblich Punkte zur Abkürzung von Zeitableitungen benutzt. Da R orthogonal ist, gilt \bar1=RR^T, wobei \bar1 die Einheitsmatrix bezeichnet. Leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab, erhält man

\bar 0=\frac{d}{dt}\bar1=\frac{d}{dt}\left(RR^T\right)=\dot{R}R^T + R\dot{R}^T,

woraus folgt, dass die Matrix \Omega:=\dot{R}R^T = -\left(R\dot{R}^T\right)^T schiefsymmetrisch ist. Die Bedeutung dieser Matrix erkennt man, wenn man die Transformation \vec{a} = R\vec{a}_{\rm L} eines beliebigen konstanten körperfesten Vektors \vec a_{\rm L} ins Inertialsystem nach der Zeit ableitet. Unter Berücksichtigung, dass \vec{a}_{\rm L} konstant ist, erhält man:

\dot{\vec{a}} = \dot R \vec{a}_{\rm L}
\dot{\vec{a}} = \dot R R^T R\vec{a}_{\rm L} = \Omega \vec{a}

Vergleicht man die letzte Gleichung mit der Formel \dot\vec{a} = \vec\omega\times\vec{a} für die Bahngeschwindigkeit eines sich drehenden Vektors \vec{a}, erkennt man, dass \Omega=\dot R\,R^T gerade die zum Kreuzprodukt \vec{a}\in\mathbb{R}^3\mapsto \omega\times\vec{a} gehörige schiefsymmetrische Abbildungsmatrix ist. Damit lassen sich \dot R\,R^T=\Omega und \dot R\,\dot{ R}^T=-\Omega in der letzten Gleichung für \vec{M} durch das Kreuzprodukt mit der Winkelgeschwindigkeit \vec\omega ersetzen:

 \vec{M} = \vec{\omega} \times \left( \bar I \vec {\omega} \right) - \bar I \left( \vec \omega \times \vec \omega \right) + \bar I \dot{\vec\omega}

Mit \vec{\omega}\times\vec{\omega}=\vec{0} ergibt sich daraus

 \vec{M} = \vec{\omega} \times \left(\bar I \vec {\omega}\right) + \bar I \dot{\vec\omega}

Diese Gleichung wurde hier für die Koordinaten im Inertialsystem hergeleitet, in dem der Trägheitstensor \bar I zeitveränderlich sein kann.

Bei einer Transformation ins lokale Bezugssystem L ist die Zeitableitung von \vec\omega zu berücksichtigen. Mit \vec{\omega}=R\vec{\omega}_{\rm L} ergibt sich \dot{\vec{\omega}} = \dot R \vec{\omega}_{\rm L} + R\dot{\vec{\omega}}_{\rm L} = \dot R R^T R\vec{\omega}_{\rm L} + R\dot{\vec\omega}_{\rm L}= \vec{\omega}\times\vec{\omega} + R\dot{\vec\omega}_{\rm L}= R\dot{\vec{\omega}}_{\rm L}. Das heißt, die Zeitableitung des in mitbewegte Koordinaten transformierten Winkelgeschwindigkeitsvektor ist gerade die transformierte Winkelbeschleunigung.

Damit lässt sich die letzte Gleichung für \vec{M} direkt in Hauptachsenkoordinaten übertragen.

 \vec{M}_{\rm L} = \vec{\omega}_{\rm L} \times \left(\bar I_{\rm L} \vec {\omega}_{\rm L}\right) + \bar I_{\rm L} \dot{\vec\omega}_{\rm L}

Im kräftefreien Fall hat man die \vec{M}_{\rm L} =\vec0 zu setzen. Die Gleichungen sind nichtlinear in den Winkelgeschwindigkeiten, aber im kräftefreien Fall exakt lösbar.

Alternative Herleitung

Sei \vec{a}_{\rm L} eine (beliebige) zeitabhängige vektorwertige Größe in lokalen Koordinaten (Index L) und R die Rotationsmatrix für die Transformation \vec{a}=R\vec{a}_{\rm L} von lokalen Koordinaten in ein Inertialsystem. Die zu R gehörige Winkelgeschwindigkeit in lokalen Koordinaten sei \vec{\omega}_{\rm L}. Die Zeitableitung der Transformationsvorschrift \vec{a}=R\vec{a}_{\rm L} lässt sich in der Form

\dot{\vec{a}} = R\left(\vec{\omega}_{\rm L}\times \vec{a}_{\rm L} + \dot{\vec{a}}_{\rm L}\right)

darstellen. Wendet man diese Vorschrift auf den Drehimpulssatz

\vec{M} = \frac{d}{dt}\vec{L}

mit der Darstellung des Drehimpulses im lokalen Bezugssystem \vec{L}=R\vec{L}_{\rm L} an, so erhält man

\vec{M}_{\rm L} = \vec{\omega}_{\rm L}\times \vec{L}_{\rm L} + \dot{\vec{L}}_{\rm L}.

Setzt man \vec{L}_{\rm L}=\bar I_{\rm L}\vec{\omega}_{\rm L} mit dem konstanten Trägheitstensor \bar I_{\rm L} in Hauptachsendarstellung ein, so ergibt sich daraus die eulersche Gleichung

\vec{M}_{\rm L} =  \vec{\omega}_{\rm L}\times\left( \bar I_{\rm L}\,\vec{\omega}_{\rm L}\right) + \bar I_{\rm L}\dot{\vec{\omega}}_{\rm L}.

Nachträglich soll noch eine kurze Begründung für die Gleichung \dot{\vec{a}} = R\left(\vec{\omega}_{\rm L}\times \vec{a}_{\rm L} + \dot{\vec{a}}_{\rm L}\right) gegeben werden.

Dabei hilft eine kurze Vorüberlegung zur Transformation des Kreuzproduktes. Seien \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^3 drei beliebige Vektoren. Der durch \vec{a},\vec{b},\vec{c} aufgespannte Spat ändert unter einer Rotation R\in\operatorname{SO}(3) sein Volumen nicht. Es gilt also \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=(R\vec{a})\cdot\left((R\vec{b})\times(R\vec{c})\right)=\vec{a}\cdot\left(R^T\left((R\vec{b})\times(R\vec{c})\right)\right). Da in dieser Gleichung \vec{a} beliebig ist, gilt auch \vec{b}\times\vec{c} = R^T\left((R\vec{b})\times(R\vec{c})\right), also R\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = (R\vec{b})\times(R\vec{c}).

Die Zeitableitung von \vec{a}=R\vec{a}_{\rm L} ergibt sich zu

\dot{\vec{a}} = \dot{R}\vec{a}_{\rm L} + R\dot{\vec{a}}_{\rm L} =
\dot{R} R^T R \vec{a}_{\rm L} + R\dot{\vec{a}}_{\rm L} = \vec{\omega}\times\vec{a} + R\dot{\vec{a}}_{\rm L}

und mit der Vorüberlegung zur Transformation des Kreuzproduktes erhält man

\dot{\vec{a}} = R\left(\vec{\omega}_{\rm L}\times\vec{a}_{\rm L} + R\dot{\vec{a}}_{\rm L}\right).

Lösung der Eulergleichungen in Spezialfällen

Kräftefreier rotationssymmetrischer Kreisel

Beim rotationssymmetrischen Kreisel sind zwei der Hauptträgheitsmomente gleich. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird hier von I_1=I_2=:I_0 ausgegangen. Unter dieser Voraussetzung vereinfacht sich die dritte Eulergleichung im kräftefreien Fall zu I_3\,\dot{\omega}_{\rm H3}=0, das heißt, die Winkelgeschwindigkeit \omega_{\rm H3} bleibt konstant.

Die zwei anderen Eulergleichungen bilden mit \omega_0 := \frac{I_3-I_0}{I_0}\omega_{\rm H3} das lineare gewöhnliche Differentialgleichungssystem

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}\omega_{\rm H1}\\\omega_{\rm H2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-\omega_0\\\omega_0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_{\rm H1}\\\omega_{\rm H2}\end{pmatrix}

mit konstanten Koeffizienten, dessen allgemeine Lösung wie folgt darstellbar ist:

\begin{pmatrix}\omega_{\rm H1}(t)\\\omega_{\rm H2}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(\omega_0\,t)&-\sin(\omega_0\,t)\\\sin(\omega_0\,t)&\cos(\omega_0\,t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_{\rm H1}(0)\\\omega_{\rm H2}(0)\end{pmatrix}

Falls \omega_{\rm H3}(0)=0 und/oder \omega_{\rm H1}(0)=\omega_{\rm H2}(0)=0 gilt, so bleiben \omega_{\rm H1} und \omega_{\rm H2} konstant und der Kreisel führt eine konstante Drehbewegung aus oder bleibt im Spezialfall \vec{\omega}_{\rm H}(0)=\vec{0} in Ruhe. Andernfalls führt die Drehachse im Hauptachsensystem mit der Drehzahl \frac{\omega_0}{2\pi} eine Drehbewegung um die Symmetrieachse aus. Diese Bewegung der Drehachse wird als Präzession bezeichnet.

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Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 29.12. 2019