Heun-Verfahren

Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und gehört zu der Klasse der Runge-Kutta-Verfahren.

Im Gegensatz zum expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.

Verfahren

Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems:

$y'=f(t,y),\quad \quad y(t_{0})=y_{0}$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungsschrittweite h>0 , betrachte die diskreten Zeitpunkte

$t_{k}=t_{0}+kh,\quad \quad k=1,2,\dots$

und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren

$y_{k+1}^{[P]}=y_{k}+hf(t_{k},y_{k})\quad ,\quad k=0,1,2,\dots$

und dann

$y_{k+1}=y_{k}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{k},y_{k})+f(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots$

was sich umformen lässt zu

$y_{k+1}={\frac {1}{2}}y_{k}+{\frac {1}{2}}(y_{k+1}^{[P]}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots$

Die $y_{k}$ sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion y(t) zu den Zeitpunkten $t_{k}$ .

bezeichnet man als Schrittweite. Verkleinert man die Schrittweite, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die $y_{k}$ liegen näher am tatsächlichen Funktionswert $y(t_{k})$ ). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit $h^{2}$ gegen null; man spricht auch von Konvergenzordnung 2.

Heun-Verfahren

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