Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta) ist ein spezielles explizites 4-stufiges Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (Gewöhnliche Differentialgleichungen). Eine abkürzende Bezeichnung dieses Verfahrens lautet RK4. Runge hat als erster (1895) ein mehrstufiges Verfahren angegeben und Kutta die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten reduziert werden. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ist eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Details

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren mittelt in jedem Schritt vier Hilfssteigungen (rot)

Sei

$y'(t)=f\left(t,y(t)\right),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{d}$

ein Anfangsproblem 1. Ordnung.

Mit der Schrittweite besitzt das klassische Runge-Kutta-Verfahren zur Berechnung der Näherung $u_{i+1} \approx y(t_{i+1})$ die Verfahrensfunktion

$\Phi(t_i,u_i,h,f) = \frac{1}{6} k_1 + \frac{1}{3} k_2 + \frac{1}{3} k_3 + \frac{1}{6} k_4$

mit

$\begin{align} k_1 &= f(t_i, u_i), \\ k_2 &= f(t_i + \frac{h}{2}, u_i + \frac{h}{2} k_1), \\ k_3 &= f(t_i + \frac{h}{2}, u_i + \frac{h}{2} k_2), \\ k_4 &= f(t_i + h, u_i + hk_3). \end{align}$

Die Rekursionsgleichung zur Berechnung der Näherung lautet dann

$u_{i+1}=u_{i}+h\cdot \Phi (t_{i},u_{i},h,f)=u_{i}+h\cdot {\frac {1}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\quad i=0,1,\dots$

Das Verfahren benötigt in jedem Schritt der Rekursion vier Auswertungen der Funktion . Für mindestens viermal stetig differenzierbares zeigt eine Taylor-Entwicklung nach der Schrittweite , dass es sich bei dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren um ein Verfahren mit Konsistenzordnung 4 handelt.

Die charakteristischen Koeffizienten des Verfahrens können in einem Butcher-Tableau zusammengefasst werden zu:

$\begin{array}{c|cccc} 0 & & & & \\ 1/2 & 1/2 & & & \\ 1/2 & 0 & 1/2 & & \\ 1 & 0 & 0 & 1 & \\ \hline & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6 \end{array}$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de