Kovarianzfunktion
Die Kovarianzfunktion ist in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, eine spezielle reellwertige Funktion, die einem stochastischen Prozess zugeordnet wird. Ihre Bedeutung erlangt die Kovarianzfunktion dadurch, dass sich eine bestimmte Klasse von stochastischen Prozessen eindeutig durch ihre Kovarianzfunktion charakterisieren lässt. Kovarianzfunktionen finden sich häufig im Umfeld des Wiener-Prozesses und verwandter Konstruktionen.
Definition
Gegeben sei ein stochastischer Prozess mit Indexmenge . Dann heißt die Funktion
definiert durch
die Kovarianzfunktion des stochastischen Prozesses . Dabei bezeichnet die Kovarianz der Zufallsvariablen und . ist der Erwartungswert.
Beispiel
Gegeben sei ein Wiener-Prozess . Ist o.B.d.A. , so ist
Da der Wiener Prozess aber ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, gilt und somit
da der Prozess normalverteilte Zuwächse hat. Somit gilt für den Wiener-Prozess
- .
Eigenschaften
Jeder Gauß-Prozess , der zentriert ist in dem Sinne, dass für alle gilt, wird durch seine Kovarianzfunktion eindeutig bestimmt. Denn sind gegeben, so lässt sich die Verteilung des Prozesses zu diesen Zeitpunkten wie folgt bestimmen: Da der Prozess zu diesen Zeitpunkten mehrdimensional normalverteilt ist und eine mehrdimensionale Normalverteilung eindeutig durch ihren Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix bestimmt ist, genügt es aufgrund der Zentriertheit die Kovarianzmatrix zu bestimmen. Diese ist aber durch die Kovarianzfunktion gegeben: Der Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ist genau .
Dieses Vorgehen ist für beliebige und alle durchführbar. Die so gewonnenen Verteilungen bilden dann eine projektive Familie und bestimmen somit nach dem Erweiterungssatz von Kolmogorov die Verteilung des Prozesses eindeutig.
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
- David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17.11. 2020