Prozess mit unabhängigen Zuwächsen

Der Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, auch Prozess mit unabhängigen Inkrementen genannt, ist ein Begriff aus der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilbereich der Wahrscheinlichkeitstheorie. Anschaulich ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ein Prozess, bei dem der Verlauf der Zukunft des Prozesses unabhängig von der Vergangenheit ist. Viele wichtige Klassen von Prozessen wie der Lévy-Prozess und damit auch der Wiener-Prozess und der Poisson-Prozess sind Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen.

Definition

Gegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess $(X_t)_{t \in T}$ . Der Prozess heißt ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, wenn für jedes $N\in \mathbb{N}$ und beliebige $t_{0},\ldots ,t_{N}\in T$ mit

$t_0<t_1< \dots < t_{N-1}<t_N$

gilt, dass die Zufallsvariablen

$Z_i= X_{t_i}-X_{t_{i-1}} \text{ für } i=1, \dots, N$

stochastisch unabhängig sind. Die $Z_{i}$ nennt man in naheliegender Weise Zuwächse.

Beispiel

Wir betrachten als Beispiel die zeitdiskrete symmetrische Irrfahrt auf $\Z$ . Sei dazu $Y_{n}$ für alle $n \in \N$ unabhängig und identisch Rademacher-verteilt, also $P(Y_{n}=-1)=P(Y_{n}=1)={\tfrac {1}{2}}$ . Die Irrfahrt wird dann definiert als

$X_0=0 \text{ und } X_n=\sum_{i=1}^nY_i \text{ für } n \geq 1$ .

Demnach ist die Differenz zu zwei beliebigen Zeitpunkten t_i und $t_{i-1}$ mit $t_{i-1} < t_i$ immer

$Z_i= \sum_{t_{i-1}+1}^{t_i} Y_i$ .

Da aber bereits die $Y_{n}$ alle voneinander unabhängig sind, ist dann auch jede überschneidungsfrei aus ihnen gebildete Teilfamilie unabhängig. Demnach sind auch die Z_i unabhängig voneinander und der Prozess $(X_{n})$ ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen.

Basierend auf einem Artikel in:

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