Vollständiger Hausdorff-Raum

Vollständige Hausdorff-Räume sind in der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik solche topologische Räume, deren Punkte sich anhand ihrer Werte unter reellwertigen stetigen Funktionen unterscheiden lassen.

Definition

Sei ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte und durch eine Funktion getrennt sind, falls eine stetige Funktion $f:X\rightarrow[0,1]$ existiert, so dass f(x)=0 und f(y)=1 gilt.

ist ein vollständiger Hausdorff-Raum, falls zwei verschiedene Punkte und immer durch eine Funktion getrennt sind. Man sagt auch, dass vollständig $T_{2}$ sei. Anders ausgedrückt: Die Menge aller stetigen [0,1] -wertigen Funktionen ist punktetrennend.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

Jeder vollständige Hausdorff-Raum ist ein Urysohn-Raum und erfüllt somit unter anderem die Trennungsaxiome $T_{0}$ , $T_{1}$ und $T_{2}$ .

Andererseits ist jeder Tychonoff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum.

Weiter existieren dagegen Beispiele, die zeigen, dass weder jeder vollständige Hausdorff-Raum ein regulärer Hausdorff-Raum ist, noch dass jeder reguläre Hausdorff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.

Beispiele

Die euklidische Topologie auf $\mathbb{R}^{n}$ definiert einen vollständigen Hausdorff-Raum.

Wir definieren auf $\mathbb {R}$ die Topologie, die durch die Vereinigung der Betragstopologie mit der Topologie, deren offenen Mengen die Mengen der Form $U\setminus A$ mit einer in der Betragstopologie offenen Menge und einer abzählbaren Menge erzeugt wird. Als eine Erweiterung der Betragstopologie ist diese Topologie vollständig hausdorffsch. Sie ist aber nicht regulär und somit erhalten wir auch keinen Tychonoff-Raum.

Beziehung zur Stone-Čech-Kompaktifizierung

Die kanonische Abbildung eines topologischen Raumes in seine Stone-Čech-Kompaktifizierung ist genau dann injektiv, wenn vollständig hausdorffsch ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de