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Trigonalisierbare Matrix

Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix A existiert also eine reguläre Matrix S, sodass {\displaystyle D=S^{-1}AS} eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus f\colon V\to V über einen endlichdimensionalen Vektorraum V, falls es eine Basis B von V gibt, sodass die Darstellungsmatrix {\displaystyle M_{B}(f)} eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Definition

Eine quadratische Matrix A\in K^{n\times n} heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix S\in K^{{n\times n}}, sodass {\displaystyle D:=S^{-1}AS} eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass D die Form

{\displaystyle D=S^{-1}AS={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\ast &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ast \\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\in K^{n\times n}}

hat, wobei {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\in K} gilt.

Ein Endomorphismus f\colon V\to V über einen endlichdimensionalen Vektorraum V heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, sodass die Darstellungsmatrix {\displaystyle M_{B}(f)} eine obere Dreiecksmatrix ist.

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über \mathbb {C} trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen Dreiecksmatrix

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix D zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix P, mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

D=P^{{-1}}AP

Des Weiteren haben A und D dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von A in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert \lambda_1 und einen zugehörigen Eigenvektor v_{1}. Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis v_{1},v_{2},\dots ,v_{n} des K^{n} ergänzt. Die Matrix T_{1} sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis v_{1},v_{2},\dots ,v_{n} zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich T_{1}^{{-1}}AT_{1} berechnen und die Form

T_{1}^{{-1}}AT_{1}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&d_{{1,2}}&\cdots &d_{{1,n}}\\0&&&\\\vdots &&A_{1}&\\0&&&\end{pmatrix}}

Für das charakteristische Polynom der (n-1)\times (n-1)-Matrix A_{1} gilt p_{A}(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})p_{{A_{1}}}. Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und A_{1} ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man A_{{n-1}}=d_{{n,n}} berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix D. Die Matrix P ergibt sich als Produkt T_{1}T_{2}\dots T_{{n-1}} der Basiswechselmatrizen.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 27.12. 2020