Trigonalisierbare Matrix

Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix existiert also eine reguläre Matrix , sodass $D=S^{-1}AS$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus $f\colon V\to V$ über einen endlichdimensionalen Vektorraum , falls es eine Basis von gibt, sodass die Darstellungsmatrix $M_{B}(f)$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Definition

Eine quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix $S\in K^{{n\times n}}$ , sodass $D:=S^{-1}AS$ eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass die Form

$D=S^{-1}AS={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\ast &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ast \\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\in K^{n\times n}$

hat, wobei $\lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\in K$ gilt.

Ein Endomorphismus $f\colon V\to V$ über einen endlichdimensionalen Vektorraum heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis von gibt, sodass die Darstellungsmatrix $M_{B}(f)$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

Die Matrix ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existiert eine obere Dreiecksmatrix und eine invertierbare Matrix mit $D=P^{{-1}}AP$ .
Das charakteristische Polynom der Matrix zerfällt über dem Körper in Linearfaktoren.
Das Minimalpolynom der Matrix zerfällt über dem Körper in Linearfaktoren.
Die Matrix besitzt über dem Körper eine Jordan-Normalform.

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über $\mathbb {C}$ trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen Dreiecksmatrix

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix , mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

$D=P^{{-1}}AP$

Des Weiteren haben und dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert $\lambda_1$ und einen zugehörigen Eigenvektor $v_{1}$ . Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ des $K^{n}$ ergänzt. Die Matrix $T_{1}$ sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich $T_{1}^{{-1}}AT_{1}$ berechnen und die Form

$T_{1}^{{-1}}AT_{1}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&d_{{1,2}}&\cdots &d_{{1,n}}\\0&&&\\\vdots &&A_{1}&\\0&&&\end{pmatrix}}$

Für das charakteristische Polynom der $(n-1)\times (n-1)$ -Matrix $A_{1}$ gilt $p_{A}(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})p_{{A_{1}}}$ . Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und $A_{1}$ ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man $A_{{n-1}}=d_{{n,n}}$ berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix . Die Matrix ergibt sich als Produkt $T_{1}T_{2}\dots T_{{n-1}}$ der Basiswechselmatrizen.

Siehe auch

Schur-Zerlegung ist ein Beispiel für ein Trigonalisierungsverfahren über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$
Diagonalisierbare Matrix

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de