Lemma von Fatou

Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

Mathematische Formulierung

Sei $(S,\Sigma ,\mu )$ ein Maßraum. Für jede Folge $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}\colon S\to \mathbb{R} \cup \{\infty \}$ gilt

$\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu \leq \liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu ,$

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion mit $f_{n}\leq g$ gibt:

$\int _{S}\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu \geq \limsup _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu$ .

Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel

$\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu \leq \liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu \leq \limsup _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu \leq \int _{S}\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu$ .

Beweisidee

Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge

$g_{n}:=\inf _{{k\geq n}}f_{k}\nearrow \liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}$

den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung

$\int _{S}\left(\inf _{{k\geq n}}f_{k}\right)\leq \int _{S}f_{n}$

erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:

$\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}\left(\inf _{{k\geq n}}f_{k}\right)\leq \liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}$ .

Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist $g_{1}=\sup _{{k\geq 1}}f_{k}\leq g$ mit integrierbar, also ist $g_{1}$ integrierbar.

Beispiele für strikte Ungleichung

Der Grundraum sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei das Einheitsintervall. Definiere $f_{n}(x)=n{\mathbf {1}}_{{(0,{\frac 1n})}}(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $x\in S$ , wobei ${\mathbf {1}}_{{(0,{\frac 1n})}}$ die ndikatorfunktion des Intervalls $(0,{\tfrac 1n})$ bezeichne.
Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei die Menge der reellen Zahlen. Definiere $f_{n}(x)={\tfrac 1n}{\mathbf {1}}_{{[0,n]}}(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $x\in S$ . (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)

Jedes $f_{n}$ hat Integral eins,

$\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu =1$

deshalb gilt

$1=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu =\liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu =\limsup _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu$

Die Folge $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ konvergiert auf punktweise gegen die Nullfunktion

$0=\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n},$

daher ist das Integral ebenfalls Null

$0=\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu =\int _{S}\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu ,$

daher gelten hier die strikten Ungleichungen

$\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu <\liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu ,$

$\int _{S}\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu <\limsup _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu$

Diskussion der Voraussetzungen

Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei das halboffene Intervall $[0,\infty )$ mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle $n\in \mathbb {N}$ definiere $f_{n}(x):=-{\tfrac {1}{n}}{\mathfrak {1}}_{{[0,n]}}(x)$ . Die Folge $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ konvergiert auf (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes $f_{n}$ hat aber Integral −1. Daher ist

$0=\int _{S}\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm {d}}\mu >\lim _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}{\mathrm {d}}\mu =-1$ .

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de