Polylogarithmus

Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe

{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}

definiert ist. Für s=1 geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:

{\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}

In den Fällen s=2 und s=3 spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe s und z mit |z|<1. Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere z ausdehnen.

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist s=n eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch

{\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}}}
{\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(t)}{t}}\,{\text{d}}t\quad {\mbox{für}}\quad n=1,2,3,\dotsc }

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von s lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z.B. \pi ) einzeln berechnet werden.

Funktionswerte und Rekursionen

Graphen einiger ganzzahliger Polylogarithmen

Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von s:

{\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln \left(1-z\right)}
{\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}}}
{\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}}
{\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}}
{\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{4}}}}
{\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2})}{(1-z)^{5}}}}

Formal kann man {\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z):=(z{\tfrac {\text{d}}{{\text{d}}z}})^{n}H(z)} mit der (für alle z divergierenden) Reihe {\displaystyle \textstyle H(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }z^{k}} definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten Laurent-Reihen) verwendet werden.

Für alle ganzzahligen nichtpositiven Werte von s kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine rationale Funktion. Für die drei kleinsten positiven Werte von s sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle 1/2 angegeben:

{\displaystyle \operatorname {Li} _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)=\ln 2}
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{12}}\left(\pi ^{2}-6\,\ln ^{2}2\right)}
{\displaystyle \operatorname {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{24}}\left(4\,\ln ^{3}2-2\pi ^{2}\,\ln 2+21\,\zeta (3)\right)}

\zeta ist dabei die Riemannsche Zetafunktion. Für größeres s sind keine derartigen Formeln bekannt.

Es gilt

{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)}

und

{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s)}

mit der dirichletschen \eta -Funktion.

Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene
Complex polylogminus3.jpg Complex polylogminus2.jpg Complex polylogminus1.jpg Complex polylog0.jpg
\operatorname {Li}_{{-3}}(z) \operatorname {Li}_{{-2}}(z) \operatorname {Li}_{{-1}}(z) \operatorname {Li}_{{0}}(z)
Complex polylog1.jpg Complex polylog2.jpg Complex polylog3.jpg
\operatorname {Li}_{{1}}(z) \operatorname {Li}_{{2}}(z) \operatorname {Li}_{{3}}(z)

Ableitung

Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:

{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\operatorname {Li} _{n}(x)={\frac {1}{x}}\operatorname {Li} _{n-1}(x)}

Integraldarstellung

Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen z,s durch

{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\frac {z}{2}}+\ln ^{s-1}\,{\frac {1}{z}}\,\Gamma (1-s,-\ln \,z)+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\,\ln \,z)}{(1+t^{2})^{s/2}(\mathrm {e} ^{2\pi \,t}-1)}}\,{\text{d}}t}

mit Hilfe des Integralausdrucks für die Lerchsche Zeta-Funktion darstellen. Dabei ist {\displaystyle \textstyle \Gamma (s,z)=\int _{z}^{\infty }t^{s-1}\mathrm {e} ^{-t}\,{\text{d}}t} die unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze.

Verallgemeinerungen

Mehrdimensionale Polylogarithmen

Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen definiert:

{\displaystyle \operatorname {L} _{a_{1},\dotsc ,a_{m}}(z)=\sum _{n_{1}>\dotsb >n_{m}>0}{\frac {z^{n_{1}}}{n_{1}^{a_{1}}\dotsb n_{m}^{a_{m}}}}}

Lerchsche Zeta-Funktion

Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten Lerchschen Zeta-Funktion:

{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\cdot \Phi (z,s,1)}

Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen

Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus:

{\displaystyle \operatorname {S} _{n,p}(z)={\frac {(-1)^{n+p-1}}{(n-1)!p!}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(\ln(t)\right)^{n-1}\left(\ln(1-zt)\right)^{p}}{t}}{\text{d}}t}

Es gilt:

{\displaystyle \operatorname {S} _{n-1,1}(z)=\operatorname {Li} _{n}(z)}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.12. 2021