Unbedingte Konvergenz

Die unbedingte Konvergenz ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der ein bestimmtes Konvergenzverhalten von Reihen beschreibt. Man spricht von unbedingter Konvergenz einer Reihe, wenn die Konvergenz unempfindlich gegenüber Umordnungen der Reihe ist. Im Endlichdimensionalen ist dies äquivalent zur absoluten Konvergenz, im Unendlichdimensionalen ist das nicht mehr der Fall.

Definition

Sei X ein topologischer Vektorraum. Sei I eine Indexmenge und x_i \in X für alle i\in I.
Man sagt, eine Reihe \textstyle \sum _{{i\in I}}x_{i} konvergiert unbedingt gegen x\in X, falls

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}x_{a(j)}=x}
gilt.

Dieser Begriff wird meistens in Banachräumen untersucht, kann aber auch in normierten, lokalkonvexen oder wie oben allgemein in topologischen Vektorräumen betrachtet werden.

Anwendungen

Zusammenhang zur absoluten Konvergenz

Satz von Riemann

Hauptartikel: Riemannscher Umordnungssatz und Steinitzscher Umordnungssatz

Sei X:=\mathbb{R} ^{n} der zugrundeliegende Banachraum und I eine abzählbare Indexmenge. Dann besagt ein Satz von Riemann, dass die Reihe \textstyle \sum _{{i\in I}}x_{i} genau dann unbedingt konvergiert, wenn sie absolut konvergiert.

Satz von Dvoretzky-Rogers

In unendlichdimensionalen Räumen sind die unbedingte Konvergenz und die absolute Konvergenz nicht mehr äquivalent. Dies besagt der Satz von Dvoretzky-Rogers, der nach Aryeh Dvoretzky und Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Präzise besagt er, dass in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine unbedingt konvergente Reihe existiert, die nicht absolut konvergiert. Die Umkehrung, nach der jede absolut konvergente Reihe unbedingt konvergiert, gilt auch im unendlichdimensionalen Fall.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.02. 2019