Polyzyklische Gruppe

Polyzyklische Gruppen sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppen. Sie setzen sich aus zyklischen Gruppen zusammen.

Definition

Eine Gruppe G heißt polyzyklisch, falls es eine endliche Kette

{\displaystyle \{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G}

gibt, so dass jede Faktorgruppe {\displaystyle G_{i+1}/G_{i}} zyklisch ist. Das Symbol \vartriangleleft steht dabei, wie üblich, für "ist Normalteiler in".

Beispiele

Eigenschaften

Beweis: Für zyklische Gruppen ist das klar und die Maximalbedingung setzt sich auf Erweiterungen fort.

Äquivalente Charakterisierungen

Dass auflösbare Untergruppen der {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )} polyzyklisch sind, wurde bereits 1951 von Anatoli Malzew bewiesen. Der Beweis der von Philip Hall vermuteten Umkehrung gelang 1967 Louis Auslander, der Beweis konnte von Richard Swan erheblich vereinfacht werden.

Hirsch-Länge

Die zyklische Reihe {\displaystyle \{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G} in der Definition der polyzyklischen Gruppe ist nicht eindeutig festgelegt, wie schon das einfache Beispiel {\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}} zeigt. Aber die Anzahl der zu \mathbb {Z} isomorphen Faktoren hängt nicht von der zyklischen Reihe ab. Diese Anzahl heißt die Hirsch-Länge der polyzyklischen Gruppe, benannt nach K. A. Hirsch.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 27.12. 2021