Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Namensherkunft

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.

Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

Mathematische Formulierung

Das i-te Glied a_{i} einer geometrischen Folge mit dem Quotienten q berechnet sich aus der Formel

a_{i}=a_{1}\cdot \,q^{{i-1}},

wenn das Anfangsglied mit a_{1} bezeichnet wird, oder

a_{i}=a_{0}\cdot \,q^{{i}},

wenn das Anfangsglied mit a_{0} bezeichnet wird.

Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen, dazu dient die folgende rekursive Formel:

a_{{i+1}}=a_{i}\cdot q.

Bemerkung: Jede geometrische Folge lässt sich mit einer solchen Funktionsvorschrift beschreiben, aber eine solche Funktionsvorschrift beschreibt nicht immer eine geometrische Folge. So kann das Anfangsglied a_{0} einer geometrischen Folge nicht {\displaystyle 0} sein, denn wegen des Verbots der Division durch {\displaystyle 0} existiert der Quotient {\displaystyle {\tfrac {a_{1}}{a_{0}}}} der ersten beiden Folgenglieder nicht für a_{0}=0. Mit der gleichen Argumentation sind Dupel

{\displaystyle (a_{0},0)}, wobei q=0, {\displaystyle a_{0}\neq 0} beliebig wählbar

der einzige Typ geometrischer Folgen, die (überhaupt irgend)ein Folgenglied a_{i}=0 haben, oder für die q=0 ist. Insbesondere gibt es keine unendlichen geometrischen Folgen mit a_{i}=0 oder mit q=0.

Zahlenbeispiele

Beispiel 1

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a_0=5 und dem Quotienten q=3 sind


a_0=5,\ a_1=15,\ a_2=45,\ a_3=135,\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dots

Beispiel 2

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a_{0}=1 und dem Quotienten q=-{\frac  {1}{2}} sind

a_{0}=1,\ a_{1}=-{\frac  {1}{2}},\ a_{2}={\frac  {1}{4}},\ a_{3}=-{\frac  {1}{8}},\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

+1,\ -{\frac  {1}{2}},\ +{\frac  {1}{4}},\ -{\frac  {1}{8}},\ +{\frac  {1}{16}},\ -{\frac  {1}{32}},\ +{\frac  {1}{64}},\ -{\frac  {1}{128}},\ +{\frac  {1}{256}},\ \dots

Anwendungsbeispiele

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt n+1 aus der Messgröße zum Zeitpunkt n durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q ergibt. Beispiele:

Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis q=1{,}05. Die Zahl q heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

1000\;{\mathrm  {Euro}}\cdot 1{,}05=1050\;{\mathrm  {Euro}},
1000\;{\mathrm  {Euro}}\cdot 1{,}05^{2}=1102{,}50\;{\mathrm  {Euro}},
1000\;{\mathrm  {Euro}}\cdot 1{,}05^{3}=1157{,}63\;{\mathrm  {Euro}}

und so weiter.

Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

f(i)=a_{0}\cdot \left({\sqrt[ {12}]{2}}\,\right)^{i},

wobei a_{0} beispielsweise die Frequenz des Kammertons, und i die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. f(i) ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand i zum "Ursprungston" a_{0}.

Der Wachstumsfaktor ist also q={\sqrt[ {12}]{2}}.

Konvergenz geometrischer Folgen

Eine unendliche geometrische Folge (a_{i}) ist genau dann eine Nullfolge, wenn der Betrag |q| des reellen (oder komplexen) Quotienten {\displaystyle q={\tfrac {a_{i+1}}{a_{i}}}} benachbarter Folgegelieder kleiner als 1 ist.


A. Behauptung: (a_{i}) ist mindestens dann eine Nullfolge, wenn |q|<1 ist.

Beweis: Sei \varepsilon >0 vorgegeben. Behauptet ist die Existenz eines i_{0} mit der Eigenschaft, dass für alle {\displaystyle i>i_{0}} gilt: {\displaystyle |a_{i}|<\varepsilon }. {\displaystyle \mathbf {(1)} }

Wegen {\displaystyle 0<|q|<1} und {\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{|a_{0}|}}>0} existiert

{\displaystyle i_{0}=:{\frac {\ln \left({\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}\right)}{\ln(|q|)}}}.

Hierbei ist \ln der natürliche Logarithmus.

Wegen {\displaystyle |q|<1\Rightarrow \ln(|q|)<0} kehrt sich für alle {\displaystyle i>i_{0}} nach Multiplikation mit {\displaystyle \ln(|q|)} das Ungleichheitszeichen um:

{\displaystyle i\cdot \ln |q|<i_{0}\cdot \ln |q|=\ln \left({\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}\right)};

für i\in \mathbb{N} ist {\displaystyle i\cdot \ln |q|=\ln \left(|q|^{i}\right)=\ln \left(\left|q^{i}\right|\right)}; Exponenzieren (zur Basis e) verändert das Ungleichheitszeichen nicht:

{\displaystyle \left|q^{i}\right|<{\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}};

wegen {\displaystyle |a_{0}|>0} bleibt das Ungleichheitszeichen nach Multiplikation mit dem Nenner unverändert; mit {\displaystyle |a_{0}|\cdot \left|q^{i}\right|=\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|}:

{\displaystyle \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|<\varepsilon }; damit (1), q.e.d.


B. Behauptung: (a_{i}) ist höchstens dann eine Nullfolge, wenn |q|<1 ist. \Leftrightarrow (a_{i}) ist keine Nullfolge, wenn {\displaystyle |q|\geq 1} ist.

Beweis: (a_{i}) ist (bereits) dann keine Nullfolge, wenn ein \varepsilon >0 so wählbar ist, dass für alle a_{i} gilt: {\displaystyle |a_{i}|\geq \varepsilon }.

Multiplikation der Bedingung {\displaystyle |q|\geq 1} mit {\displaystyle \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|} ergibt (wegen {\displaystyle \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|>0} ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens):

{\displaystyle \left|a_{0}\cdot q^{i+1}\right|\geq \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|}, damit:

{\displaystyle |a_{i+1}|\geq |a_{i}|}. {\displaystyle \mathbf {(2)} }.

Ein \varepsilon mit {\displaystyle |a_{0}|\geq \varepsilon >0} sei gewählt. Mit (2) gilt dann auch für alle i>0: {\displaystyle |a_{i}|\geq \varepsilon }, q.e.d.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 15.02. 2021