Nullfolge
In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge (meist von reellen Zahlen), die gegen 0 konvergiert (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten Zahl (nämlich ihrem Grenzwert) und einer Nullfolge dargestellt werden.
Zum Beispiel ist die Folge
eine Nullfolge reeller Zahlen.
Definition
Sei
der Körper
der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Folge
heißt Nullfolge, falls
gilt. Die Menge aller Nullfolgen bildet den Folgenraum
,
der mit der Supremumsnorm
ein Banachraum wird.
Beispiele
Beispiele für Nullfolgen
sind:
,
,
,
,
,
.
Verallgemeinerung
Sei
eine metrisierbare
topologische
Gruppe, d.h. eine Gruppe, die mit einer Metrik so ausgestattet
ist, dass die Gruppenverknüpfung und die Inversenbildung stetig sind (z.B.
die additive Gruppe in einem bewerteten Körper oder normierten Vektorraum).
Eine Folge in
heißt genau dann Nullfolge, wenn sie gegen das neutrale Element
konvergiert.
Die Eigenschaft einer Folge, Nullfolge zu sein, hängt natürlich von der
Metrik ab: Die oben als Beispiel angegebene Folge
ist in
eine Nullfolge bezüglich der üblichen Betragsmetrik, jedoch divergiert sie sogar
bezüglich des 2-adischen
Betrages auf
.
Eine Folge in einem normierten Vektorraum ist genau dann eine Nullfolge
bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik, wenn die Folge der Normen eine
Nullfolge in
ist.
Siehe auch
Literatur
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. Sechste, korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.02. 2021