Koerzitive Funktion

In der Mathematik wird eine reellwertige Funktion als koerzitiv (oder koerziv) bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen positiv unendlich streben, wenn die Eingabewerte gegen unendlich streben.

Definition

Sei $\left(X,\|\cdot \|\right)$ ein normierter Raum und $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ eine reellwertige Funktion auf . Die Funktion heißt koerzitiv, falls für alle Folgen $\left(x_{n}\right)_{{n\in {\mathbb {N}}}}\subset X$ mit $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left\|x_{n}\right\|=+\infty$ gilt:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=+\infty$ .

Motivation

Im Allgemeinen nehmen stetige Funktionen auf nicht-kompakten Mengen kein Minimum oder Maximum an, z.B. realisiert $f:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}},\quad x\mapsto x^{3}$ das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv. $g:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}},\quad x\mapsto x^{2}$ ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum ( 0=g(0) ) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei ein reflexiver Banachraum und $f:X\rightarrow {\mathbb {R}}$ erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:

ist schwach halbstetig von unten und koerzitiv
ist stetig, konvex und koerzitiv

Dann nimmt das Minimum an.

Erweiterung auf Sesquilinearformen

Eine komplexwertige Sesquilinearform $B:X\times X\rightarrow {\mathbb {C}}$ wird als koerzitiv bezeichnet, falls die Funktion $x\mapsto B(x,x)$ reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z.B. im Lemma von Lax-Milgram Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der Koerzitivfeldstärke verwechselt werden.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de