Hypergeometrische Differentialgleichung
Im Jahr 1801 wurde von Leonhard Euler die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben. Sie steht in engem Zusammenhang mit der Gaußschen hypergeometrischen Funktion, die zuerst von Carl Friedrich Gauß systematisch untersucht wurde.
Hypergeometrische Differentialgleichung
Die hypergeometrische Funktion , wobei die Gammafunktion bezeichnet, genügt der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung:
- .
Singularitäten
Die Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt drei hebbare Singularitäten, deren Werte im Folgenden bestimmt werden.
Ausgehend von der Hypergeometrischen Differentialgleichung in der Darstellung
mit
und
erhält man die beiden hebbaren Singularitäten bei und .
Die dritte hebbare Singularität wird durch die Substitution erhalten. Zunächst werden dazu die Ableitungen der hypergeometrische Funktion wie folgt substituiert:
und
Somit nimmt die hypergeometrische Differentialgleichung, nach Division durch , folgende Gestalt an:
mit
und
Demnach besitzt die hypergeometrische Differentialgleichung zudem bei eine hebbare Singularität.
Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung
Mit dem Potenzreihenansatz mit komplexen Koeffizienten lautet die hypergeometrische Differentialgleichung:
- .
Nach Ausführung der Ableitungen ergibt sich die Darstellung
- .
Zusammenfassen der Potenzen von führt zu
- .
Mittels Indexverschiebung ergibt sich
- .
Diese Gleichung ist offensichtlich dann erfüllt, wenn:
- .
Somit ist für den Koeffizienten folgende Rekursion gefunden:
Hierbei bezeichnet das Pochhammer-Symbol.
Wird als Anfangswert gesetzt, so lautet die erste Basislösung der hypergeometrischen Differentialgleichung:
- .
Für erhält man als zweite linear unabhängige Basislösung
Beide zusammen spannen den gesamten Lösungsraum der hypergeometrischen Differentialgleichung auf:
- mit
Siehe auch
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.11. 2021