Satz von Plancherel
Der Satz von Plancherel ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Der Satz besagt, dass die der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche -Norm haben. Im Jahr 1910 wurde die Aussage von Michel Plancherel bewiesen, nach dem der Satz auch benannt ist.
Aussage
Es existiert eine Isometrie , die unitär ist und eindeutig durch
für alle bestimmt ist, wobei die Fourier-Transformation und den Schwartz-Raum bezeichnet.
Bemerkungen
- Die Gleichheit gilt nicht nur für , sondern auch für , da sowohl in als auch in dicht liegt. Da auf und die Fourier-Transformation auf definiert ist, kann man als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
- Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem zugrunde liegt.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.09. 2019