Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Der Satz besagt, dass die L^{2} der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche L^{2}-Norm haben. Im Jahr 1910 wurde die Aussage von Michel Plancherel bewiesen, nach dem der Satz auch benannt ist.

Aussage

Es existiert eine Isometrie \Psi \colon L^2(\R^n) \to L^2(\R^n), die unitär ist und eindeutig durch

\Psi(f) = \mathcal{F}(f)

für alle f \in \mathcal{S} bestimmt ist, wobei {\mathcal {F}} die Fourier-Transformation und \mathcal{S} den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen

  1. Die Gleichheit \Psi(f) = \mathcal{F}(f) gilt nicht nur für f \in \mathcal{S}, sondern auch für f \in L^1(\R^n) \cap L^2(\R^n), da \mathcal{S} sowohl in L^1(\R^n) als auch in L^2(\R^n) dicht liegt. Da \Psi auf L^2(\R^n) und die Fourier-Transformation {\mathcal {F}} auf L^1(\R^n) definiert ist, kann man \Psi als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf L^2(\R^n) verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
  2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem zugrunde liegt.
Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 09.09. 2019