Satz von Parseval

Der Satz von Parseval ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Er besagt, dass die $L^{2}$ -Norm einer Fourier-Reihe mit der $\ell ^{2}$ -Norm ihrer Fourier-Koeffizienten übereinstimmt. Die Aussage entstand 1799 aus einem Satz über mathematische Reihen von Marc-Antoine Parseval, der später auf die Fourier-Reihen ausgedehnt wurde. Parseval, der sich eigentlich nur auf reell-wertige Funktionen konzentrierte, veröffentlichte seinen Satz ohne Beweis, da er seine Richtigkeit für augenscheinlich hielt. Eine ähnliche Aussage für die Fourier-Transformation macht der Satz von Plancherel. Oftmals werden diese beiden Sätze nicht auseinandergehalten, sondern auch der Satz von Plancherel nach Parseval benannt.

Aussagen des Parsevalschen Theorems

Seien und zwei Riemann-integrierbare komplexwertige Funktionen über $\mathbb {R}$ mit Periode $2\pi$ und der Fourier-Reihen-Zerlegung

$A(x)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }a_{n}e^{{inx}}$ und $B(x)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }b_{n}e^{{inx}}$ .

Dann gilt

$\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }a_{n}b_{n}^{*}={\frac {1}{2\pi }}\int _{{-\pi }}^{\pi }A(x)B(x)^{*}dx,$

wobei die Imaginäre Einheit ist und ${}^{*}$ konjugiert komplex bezeichnet.

Es gibt viele verschiedene Spezialfälle des Theorems. Ist z.B. A=B , erhält man

$\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }|a_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{{-\pi }}^{\pi }|A(x)|^{2}dx,$

woraus die Unitarität der Fourierreihen folgt.

Außerdem sind oft nur die Fourierreihen für reell-wertige Funktionen und gemeint, was folgendem Spezialfall entspricht:

$a_{0}$ reell, $a_{{-n}}=a_{n}^{*}$ ,

$b_{0}$ reell, $b_{{-n}}=b_{n}^{*}$ .

In diesem Fall ist

$a_{0}b_{0}+2\operatorname {Re} (\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}^{*})={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x)B(x)dx,$

wobei $\operatorname {Re}$ den Realteil bezeichnet.

Anwendungen

In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird mit dem Parsevalschen Theorem ausgedrückt, dass die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist. Dies wird in folgender Gleichung ausgedrückt:

$\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{|x(t)|^{2}dt}={\frac {1}{2\pi }}\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{|X(\omega )|^{2}d\omega }$

wobei $X(\omega )={\mathcal {F}}\{x(t)\}$ die Fourier-Transformation von x(t) mit weggelassenem Vorfaktor ist und $\omega$ die Frequenz des Signals bezeichnet.

Für zeitdiskrete Signale wird die Gleichung zu

$\sum _{{n=0}}^{{N-1}}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{{k=0}}^{{N-1}}|X[k]|^{2},$

wobei $X[k]$ die diskrete Fourier-Transformation (DFT) von .

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de