sl(2,C)

In der Mathematik ist die Lie-Algebra {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe {\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper {\displaystyle \mathbb {C} } definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra {\mathfrak {su}}(2) und die Lie-Algebra {\mathfrak  {sl}}(2,\mathbb{R} ).

Die Gruppe {\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )} spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen SO_{{0}}(3,1) ist.

Kommutator-Relationen

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum {\displaystyle g=\langle \{x,y,h\}\rangle _{\mathbb {C} }}. Die {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

[x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

{\displaystyle x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}

Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt

Durch die Definition des Kreuzproduktes in {\displaystyle \mathbb {C} ^{3}} und der folgenden Vektoren

x=(1,{\mathrm  i},0),\quad y=(-1,{\mathrm  i},0),\quad h=(0,0,2{\mathrm  i})

ergibt sich die gleiche Algebra:

{\displaystyle x\times y=h,\quad h\times x=2x,\quad h\times y=-2y}

Eigenschaften

{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei {\mathfrak {a}} ein nichttriviales Ideal in {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} und sei ax+bh+cy\in {\mathfrak  {a}}\setminus 0 mit {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} }. Wenn a=c=0, dann h\in {\mathfrak  {a}}, damit 2x=\left[h,x\right]\in {\mathfrak  {a}} und 2y=\left[h,y\right]\in {\mathfrak  {a}}, also {\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}. Also können wir a\not =0 oder c\not =0 annehmen, o.B.d.A a\not =0. Aus \left[y, \left[y, ax + bh + cy \right]\right] = \left[y, -ah + 2by \right] = -2ay folgt dann y\in {\mathfrak  {a}} und damit auch h=\left[x,y\right]\in {\mathfrak  {a}}, also wieder {\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}.

Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)

Killing-Form

Die Killing-Form von {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} lässt sich explizit durch die Formel

B(v,w)=4\,\operatorname {Spur}(vw)

berechnen, es ist also

B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8
B(x,y)=4,\ B(x,h)=-4,\ B(y,h)=4.

Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe {\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )} ist K=SU(2), ihre Lie-Algebra {\mathfrak  {k}}={\mathfrak  {su}}(2) wird von i(x+y),\ x-y und ih aufgespannt.

Eine Cartan-Involution von {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ist gegeben durch

{\displaystyle \theta (A)=-{\overline {A}}^{T}}.

{\mathfrak  {k}}={\mathfrak  {su}}(2) ist ihr Eigenraum zum Eigenwert 1. Man erhält die Cartan-Zerlegung

{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}},

wobei {\displaystyle {\mathfrak {p}}=\left\{A\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ):A={\overline {A}}^{T}\right\}} der Eigenraum zum Eigenwert -1 ist.

Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ist

{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}

mit {\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {su}}(2),\ {\mathfrak {a}}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda \in \mathbb {R} \right\},\ {\mathfrak {n}}=\left\{{\begin{pmatrix}0&n\\0&0\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {C} \right\}}.

Reelle Formen

Die {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist {\mathfrak {su}}(2), ihre spaltbare reelle Form ist {\mathfrak  {sl}}(2,\mathbb{R} ).

Cartan-Unteralgebren

Eine maximale abelsche Unteralgebra ist

{\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda \in \mathbb {C} \right\}}.

{\mathfrak  {h}}_{0} ist eine Cartan-Unteralgebra.

Jede Cartan-Unteralgebra {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ist zu {\mathfrak  {h}}_{0} konjugiert, d.h., sie ist von der Form

{\mathfrak  {h}}=g{\mathfrak  {h}}_{0}g^{{-1}}:=\left\{ghg^{{-1}}:h\in {\mathfrak  {h}}_{0}\right\}

für ein {\displaystyle g\in SL(2,\mathbb {C} )}.

Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu {\mathfrak  {h}}_{0} ist

R=\left\{\alpha _{{12}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\ \alpha _{{21}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}.

Die dualen Wurzeln sind

\alpha _{{12}}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=2\lambda ,\ \alpha _{{12}}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=-2\lambda .

Die zugehörigen Wurzelräume sind

{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha _{12}}=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\ {\mathfrak {g}}_{\alpha _{21}}=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe S_{2}.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 29.09. 2022