sl(2,C)
In der Mathematik ist die Lie-Algebra der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.
Die ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe . Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra und die Lie-Algebra .
Die Gruppe spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen ist.
Kommutator-Relationen
Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum . Die ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:
Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:
Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt
Durch die Definition des Kreuzproduktes in und der folgenden Vektoren
ergibt sich die gleiche Algebra:
Eigenschaften
ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.
Beweis: Sei ein nichttriviales Ideal in und sei mit . Wenn , dann , damit und , also . Also können wir oder annehmen, o.B.d.A . Aus folgt dann und damit auch , also wieder .
Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)
Killing-Form
Die Killing-Form von lässt sich explizit durch die Formel
berechnen, es ist also
Cartan-Involution
Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe ist , ihre Lie-Algebra wird von und aufgespannt.
Eine Cartan-Involution von ist gegeben durch
- .
ist ihr Eigenraum zum Eigenwert . Man erhält die Cartan-Zerlegung
- ,
wobei der Eigenraum zum Eigenwert ist.
Iwasawa-Zerlegung
Eine Iwasawa-Zerlegung von ist
mit .
Reelle Formen
Die hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist , ihre spaltbare reelle Form ist .
Cartan-Unteralgebren
Eine maximale abelsche Unteralgebra ist
- .
ist eine Cartan-Unteralgebra.
Jede Cartan-Unteralgebra ist zu konjugiert, d.h., sie ist von der Form
für ein .
Wurzelsystem
Das Wurzelsystem zu ist
- .
Die dualen Wurzeln sind
- .
Die zugehörigen Wurzelräume sind
- .
Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe .
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.09. 2022