Weyl-Gruppe

In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe

Es sei G eine halbeinfache Lie-Gruppe und

G=KAN

ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien \mathcal{N}_G(A) der Normalisator von A in G und \mathcal{Z}_G(A) der Zentralisator von A in G. Die Weyl-Gruppe ist definiert als

W=\mathcal{N}_G(A)/\mathcal{Z}_G(A).

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe einer kompakten Lie-Gruppe

Für jeden maximalen Torus T\subset G sei {\displaystyle {\mathcal {N}}_{G}(T)} und {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{G}(T)} der Normalisator und Zentralisator von T, dann ist

{\displaystyle W={\mathcal {N}}_{G}(T)/{\mathcal {Z}}_{G}(T)={\mathcal {N}}_{G}(T)/T}

die Weyl-Gruppe von T.

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems

Hauptartikel: Wurzelsystem

Es sei R ein Wurzelsystem in einem Vektorraum V, dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

\left\{s_\Alpha: \Alpha\in R\right\}

erzeugte Gruppe W die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls G eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra \mathfrak{g} ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra {\mathfrak  {a}}\subset {\mathfrak  {g}} und das dazugehörige Wurzelsystem R. Die Weyl-Gruppe von ({\mathfrak  {a}},R) stimmt mit der Weyl-Gruppe von G überein.

Längstes Element

Das längste Element der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.

Beispiel

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe SL(n,\mathbb{R} ) ist die symmetrische Gruppe S_{n}. Das längste Element ist die Permutation {\displaystyle (1,2,\ldots ,n-1,n)\to (n,n-1,\ldots ,2,1)}.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.11. 2022