Weyl-Gruppe
In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.
Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe
Es sei eine halbeinfache Lie-Gruppe und
ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien der Normalisator von in und der Zentralisator von in . Die Weyl-Gruppe ist definiert als
- .
Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.
Weyl-Gruppe einer kompakten Lie-Gruppe
Für jeden maximalen Torus sei und der Normalisator und Zentralisator von , dann ist
die Weyl-Gruppe von .
Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems
Es sei ein Wurzelsystem in einem Vektorraum , dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen
erzeugte Gruppe die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.
Falls eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra und das dazugehörige Wurzelsystem . Die Weyl-Gruppe von stimmt mit der Weyl-Gruppe von überein.
Längstes Element
Das längste Element der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.
Beispiel
Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe ist die symmetrische Gruppe . Das längste Element ist die Permutation .
Literatur
- Michael Davis: The Geometry and Topology of Coxeter Groups, ISBN 978-0-691-13138-2
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.11. 2022