Eigenraum

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet den von den Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus aufgespannten Untervektorraum.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Definition

Sei ein Vektorraum über einem Körper und $\varphi \in \operatorname {End}(V)$ ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\to V$ . Der Eigenraum $E(\lambda )$ zum Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$ ist dann

${\begin{aligned}E(\lambda )&:={\mathrm {Kern}}(\varphi -\lambda {\mathrm {id}}_{V})\\&=\left\{x\in V\mid \varphi (x)=\lambda x\right\}\\&=\left\{x\in V\mid x\neq 0,\ \varphi (x)=\lambda x\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}$

Man sagt dann auch, $E\left(\lambda \right)\subseteq V$ ist invariant bezüglich des Endomorphismus $\varphi$ oder $E\left(\lambda \right)$ ist ein $\varphi$ -invarianter Untervektorraum von . Die Elemente von $E\left(\lambda \right)$ sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$ , sowie der Nullvektor.

Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums $E\left(\lambda \right)$ wird als geometrische Vielfachheit von $\lambda$ bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von $\lambda$ .

Eigenschaften

Existiert ein Eigenwert $\lambda =0$ von $\varphi$ , so ist der zugehörige Eigenraum $E\left(\lambda \right)$ gleich dem Kern von $\varphi$ . Denn $\operatorname {Kern}\left(\varphi \right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0\right\}$ und nach Definition des Eigenraumes: $E\left(0\right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0x=0\right\}$ .

Die Summe von Eigenräumen zu paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$ von $\varphi$ ist direkt:

$E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n) = E(\lambda _1) \oplus \dots \oplus E(\lambda _n)$

Gilt im obigen Fall $E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n) = V$ , so besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von $\varphi$ . In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix von $\varphi \in \operatorname {End}\left(V\right)$ bezüglich einer Basis von diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix von $\varphi$ bezüglich einer Basis von aus Eigenvektoren von $\varphi$ hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von stehen dann die Eigenwerte von $\varphi$ :

$A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}$

Ist ein Prähilbertraum und $\varphi \in \operatorname {End}(V)$ selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de