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Eigenraum

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet den von den Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus aufgespannten Untervektorraum.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Definition

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und \varphi \in \operatorname {End}(V) ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung \varphi \colon V\to V. Der Eigenraum E(\lambda ) zum Eigenwert \lambda von \varphi ist dann

{\begin{aligned}E(\lambda )&:={\mathrm  {Kern}}(\varphi -\lambda {\mathrm  {id}}_{V})\\&=\left\{x\in V\mid \varphi (x)=\lambda x\right\}\\&=\left\{x\in V\mid x\neq 0,\ \varphi (x)=\lambda x\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}

Man sagt dann auch, E\left(\lambda \right)\subseteq V ist invariant bezüglich des Endomorphismus \varphi oder E\left(\lambda \right) ist ein \varphi -invarianter Untervektorraum von V. Die Elemente x von E\left(\lambda \right) sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert \lambda von \varphi , sowie der Nullvektor.

Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums E\left(\lambda \right) wird als geometrische Vielfachheit von \lambda bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von \lambda .

Eigenschaften

E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n)  = E(\lambda _1) \oplus \dots \oplus E(\lambda _n)
A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}
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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 12.12. 2016