Konische Hülle

Die konische Hülle, manchmal auch positive Hülle genannt, ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zuordnet, der diese Menge enthält. Die konische Hülle findet Verwendung in der Theorie der mathematischen Optimierung, insbesondere in der linearen Optimierung.

Definition

Gegeben sei ein \mathbb {R} -Vektorraum V und X eine beliebige Teilmenge von V. Dann heißt

{\displaystyle \operatorname {pos} (X):=\bigcap _{X\subseteq {\mathcal {K}} \atop {\mathcal {K}}{\text{ ist konvexer Kegel }}}{\mathcal {K}}}

die konische Hülle oder auch positive Hülle von X. Sie ist der kleinste konvexe Kegel, der X enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

\operatorname {pos}(X):=\left\{\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}x_{i}\,|\,n\in \mathbb{N} ;x_{i}\in X;\lambda _{i}\geq 0\right\}.

Bemerkungen

Eigenschaften

  • X\subset \operatorname {pos}(X),
  • X\subset Y\implies \operatorname {pos}(X)\subset \operatorname {pos}(Y),
  • \operatorname {pos}(\operatorname {pos}(X))=\operatorname {pos}(X).

Endlich erzeugter Kegel

Ein Kegel K heißt endlich erzeugter Kegel, wenn es eine endliche Menge X gibt, so dass

K=\operatorname {pos}(X)

ist. Ein Kegel im {\mathbb  {R}}^{n} ist genau dann endlich erzeugt, wenn er ein Polyedrischer Kegel ist.

Beispiele

Sind im \mathbb {R} ^{2} die zwei Vektoren

v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.

gegeben, so ist

\operatorname {pos}(v_{1},v_{2})=\{x\in {\mathbb  {R}}^{2}\,,\,x_{1}\geq 0,\,x_{2}\geq 0\},

da sich jedes Element dieser Menge (der erste Quadrant) als Positivkombination von v_{1} oder v_{2} darstellen lässt.

Sind die Monome x^{2},x,1 gegeben, so ist

\operatorname {pos}(x^{2},x,1)=\{\lambda _{2}x^{2}+\lambda _{1}x+\lambda _{0}\}

für \lambda _{i}\geq 0. Dies sind dann genau alle Polynome vom Maximalgrad 2 mit positiven Koeffizienten.

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 07.06. 2018