Kegelhülle
Die Kegelhülle ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes einen Kegel zuordnet, genauer den kleinsten Kegel, der die Menge enthält.
Definition
Gegeben sei ein -Vektorraum und eine beliebige Teilmenge von . Dann heißt
die Kegelhülle von . Sie ist der kleinste Kegel, der enthält.
Äquivalent dazu ist die Definition
- .
Bemerkungen
- Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige -Vektorräume definieren, solange ein geordneter Körper ist.
- Die Notation wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise bezeichnet sie auch den kleinsten konvexen Kegel, der enthält und wird dann als konische Hülle oder positive Hülle bezeichnet.
Eigenschaften
- ist ein Hüllenoperator, es gilt also für
-
-
- ,
- ,
- .
-
- Ist die konvexe Hülle von und die konische Hülle, so gilt
-
- .
- Insbesondere ist die Kegelhülle einer konvexen Menge ein konvexer Kegel.
Beispiele
Gegeben seien die beiden Vektoren
- .
Dann ist
Betrachtet man den Vektorraum der Matrizen sowie als Menge aller Drehmatrizen
- ,
so ist der Kegel der Matrizen, die Drehstreckungen beschreiben
- .
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.12. 2020