Pendel

Schwingung eines Fadenpendels

Ein Pendel, auch Schwerependel (früher auch Perpendikel, von lat. pendere „hängen“) ist ein Körper, der, an einer Achse oder einem Punkt außerhalb seines Massenmittelpunktes drehbar angebracht, um seine eigene Ruheposition schwingen kann.

Grundlagen

Bewegung des Pendels

Das Pendel besteht meist aus einem Band oder einem Stab, das am freien Ende von einer Masse beschwert ist. Bringt man ein solches Pendel aus seiner vertikalen Ruhelage, schwingt es unter dem Einfluss der Schwerkraft zurück und wird, solange keine Dämpfung erfolgt, symmetrisch zwischen den Scheitelpunkten als Umkehrpunkt der Bewegung um die tiefstmögliche Position des Massenmittelpunktes – die Ruheposition – weiterschwingen. Die Regelmäßigkeit der Schwingungsperiode eines Pendels wird bei mechanischen Pendeluhren genutzt. Ihre Pendel müssen, sollen sie genau gehen, möglichst kleine und konstante Amplituden zurücklegen.

Auf der theoretischen Ebene unterscheidet man bei Schwerkraftpendeln die beiden folgenden Arten: Das mathematische Pendel ist ein idealisierendes Modell zur allgemeinen Beschreibung von Pendelschwingungen. Dabei wird angenommen, dass die gesamte Masse des Pendels in einem Punkt vereinigt vorliegt, der einen festen Abstand vom Aufhängepunkt hat. Ein solches Pendel wird näherungsweise durch ein Fadenpendel realisiert. Das physikalische Pendel unterscheidet sich vom mathematischen Pendel, indem bei ihm die Form und Größe des Pendelkörpers berücksichtigt wird, weshalb das Verhalten physikalischer Pendel eher dem von realen Pendeln entspricht. So ist beispielsweise die Periodendauer eines Stangenpendels, bei dem ein Pendelkörper an einer Stange mit endlicher Masse hängt, stets kürzer als die Periodendauer eines gleich langen mathematischen Pendels, bei dem die Masse der Aufhängung vernachlässigt werden kann. Für kleine Auslenkungen vereinfacht sich die Betrachtung der Bewegung des Pendels: Da hier die rückstellende Kraft näherungsweise proportional zur Auslenkung ist, handelt es sich um einen harmonischen Oszillator

Mit dem Foucaultschen Pendel konnte die Erdrotation nachgewiesen werden: Die Corioliskraft wirkt von außen auf das Pendel, indem sie seine Schwingungsebene verändert und es von Schwingung zu Schwingung in einem wiederkehrenden Muster ablenkt.

Mathematische Beschreibung

Bewegungsgleichung

Rückstellkraft am Fadenpendel: \vec F_\mathrm{R} = -\vec F_\mathrm{tan}

Anhand der Kräfte wird im Folgenden die Bewegungsgleichung der Pendelschwingung aufgestellt.

Aufgrund der Schwerkraft (g = Schwerebeschleunigung) ergibt sich bei Auslenkung eines Fadenpendels der Masse m eine Kraft FR(t), die tangential zur kreisförmigen Pendelbahn wirkt. Die radiale Komponente spielt für die Bewegung keine Rolle, da sie in Richtung des Fadens wirkt. Die Rückstellkraft steigt mit dem Auslenkungswinkel φ bezüglich der Ruhelage. Da das mathematische Pendel nur einen Freiheitsgrad besitzt, genügt eine skalare Gleichung.

F_\mathrm{R}(t) =- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right)

Beim Betrachten eines schwingenden Fadenpendels zeigt sich, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Auslenkung abnimmt und nach Erreichen des Scheitelpunkts die Richtung wechselt. Die Geschwindigkeitsänderung bedeutet, dass die Pendelmasse eine Beschleunigung erfährt, genauer gesagt findet eine Tangentialbeschleunigung statt, da eine kreisförmige Bewegungsbahn vorliegt. Die Bewegungsgleichung lautet nach dem 2. Newtonschen Gesetz.

m \cdot a_\mathrm{tan}(t) = F_\mathrm{R}(t)

Die Tangentialbeschleunigung lässt sich durch die Winkelbeschleunigung ausdrücken.

a_\mathrm{tan}(t)= l \cdot \ddot{\varphi}(t)

Bei der ungestörten Schwingung stellt die Rückstellkraft des Pendels die einzige äußere Kraft dar. Nach Umstellen und Kürzen der Masse entsteht eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.

m \cdot l \cdot \ddot{\varphi}(t) = - m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right)
\ddot{\varphi}(t) + \frac{g}{l} \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) = 0

Kleine Amplituden: Harmonische Schwingung

Für kleine Winkel gilt die Kleinwinkelnäherung:

\sin (\varphi) \approx \varphi.

Durch Substitution ergibt sich somit eine lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung der allgemeinen Form \ddot x + \omega_0^2 x = 0 \ , deren allgemeine Lösung  x(t) = u\, \sin(\omega_0 t +\phi) zur Schwingungsgleichung führt.

\ddot{\varphi}(t) + \frac{g}{l} \cdot \varphi(t) = 0
\varphi(t) = \hat \varphi \cdot \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t + \varphi_0 \right)

Hierbei bezeichnen \hat \varphi die Winkelamplitude und φ0 den Nullphasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0. Darüber hinaus sind die Eigenkreisfrequenz \omega_0 und die zugehörige Periodendauer T_0 ersichtlich.

\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}
T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

Da Pendel in der Realität immer mehr als infinitesimal ausgelenkt werden, verhalten sie sich nichtlinear, d.h. Schwingungen mit endlicher Amplitude sind anharmonisch. Die allgemeine Differentialgleichung ist elementar nicht lösbar und erfordert Kenntnisse über elliptische Integrale. Damit lässt sich die allgemeine Lösung für die Periode in eine Reihe entwickeln:

 \begin{align}
T(\hat \varphi) & = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{\left(2n\right)!}{\left(2^{n}n!\right)^2} \right)^2 \sin^{2n} \left(\hat\varphi/2\right) \\
& = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \sin^2\left(\frac{\hat \varphi}{2}\right)+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 \cdot \sin^4\left(\frac{\hat \varphi}{2}\right) + \dots\right)
\end{align}

Alternativ lässt sich das auftretende elliptische Integral auch über das arithmetisch-geometrische Mittel M auswerten:

T(\hat \varphi) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot\frac{1}{M\left(1,\cos\frac{\hat \varphi}{2}\right)}

Außerdem ist die Dämpfung durch Reibungsverluste bei einem echten Pendel größer als Null, so dass die Auslenkungen ungefähr exponentiell mit der Zeit abnehmen.

Dass die Periodendauer nicht von m und in der Form T_0 \propto  \sqrt{l/g} von l und g abhängt, lässt sich auch aus einer Dimensionsanalyse, z.B. mit dem Buckinghamschen Π-Theorem, herleiten. Nur der numerische Faktor (2 \pi bei kleinen Amplituden, M\left(1,\cos\tfrac{\hat \varphi}{2}\right) in der exakten Lösung) ist so nicht zu ermitteln.

Erhaltungssätze

Beim Pendel gilt der Energieerhaltungssatz der Mechanik. Auf dem Weg von der maximalen Auslenkung zur Ruhelage nimmt die potentielle Energie ab. Die mit ihr verbundene Gewichtskraft – genauer: deren tangentiale Komponente – verrichtet Beschleunigungsarbeit, wodurch die kinetische Energie zunimmt. Nach Durchschreiten des Minimums wirkt eine Komponente der Gewichtskraft entgegen der Bewegungsrichtung. Es wird Hubarbeit verrichtet.

E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin} = \text{konst.}\,

Auch hieraus lässt sich die Differentialgleichung herleiten:

E_\mathrm{pot} =m\;g\;l\cdot (1-\cos \varphi)
E_\mathrm{kin} =\frac{m\;l^2}2\ \dot \varphi^2

Die Summe ist zeitlich konstant, also

\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin}) =0 
& =m\;g\;l\cdot\sin\varphi\cdot\dot\varphi + m\;l^2\cdot\dot\varphi\cdot\ddot\varphi\\
& =m\;l^2\cdot\dot\varphi\cdot\left(\frac gl\cdot\sin\varphi +\ddot\varphi\right)
\end{align}

Diese Gleichung hat zwei Lösungen:

  1. \dot\varphi=0 , es gibt keine Bewegung; diese Lösung kann man hier unbeachtet lassen.
  2. \frac gl\cdot\sin\varphi +\ddot\varphi=0 ; diese Lösung stimmt mit der Lösung oben überein.

Federpendel

Hauptartikel: Federpendel

Federpendel sind keine Pendel im eigentlichen Sinne, denn sie verfügen im Unterschied zum Schwerkraftpendel über eigene Rückstellkräfte, die von der Schwerkraft unabhängig sind.

Es gibt u.a. folgende Varianten:

Gekoppelte Pendel

Gekoppelt werden Pendel für physikalische Versuche. Zum Beispiel verbindet man Fadenpendel durch eine Feder miteinander. Man kann an ihren Bewegungen sehr gut das Phänomen der Schwebung beobachten. Gebundene Atome (z.B. in einem Molekül bzw. in einem Festkörper) können näherungsweise durch ein solches Modell von gekoppelten Pendeln beschrieben werden.

Doppelpendel dienen der Demonstration von chaotischen Prozessen, da die Bewegungsabläufe bei Doppelpendeln als solche zu bezeichnen sind. Linear (zum Beispiel mittels Federn) gekoppelte Pendel erzeugen komplexe Schwingungsmuster, indem die Grundschwingung von sogenannten Eigenschwingungsformen oder Schwingungsmoden mit zugehörigen Eigenfrequenzen überlagert werden.

Siehe auch



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.11. 2017