Eigenmode

Die Eigenmoden oder Normalmoden eines schwingfähigen Systems bilden eine diskrete Basis aller Bewegungen, die ein ungedämpftes und frei schwingendes System in harmonischer Näherung ausführen kann. Sie ergeben sich aus den Bewegungsgleichungen des Systems als Eigenvektoren dieses Gleichungssystems. Die Frequenzen der Eigenmoden werden die Eigenfrequenzen des Systems genannt, sie sind die Eigenwerte des Systems der Bewegungsgleichungen.

Die Anzahl der Eigenmoden eines solchen Systems steht in Verbindung zu dessen Freiheitsgraden: Das System kann maximal so viele Eigenfrequenzen wie Freiheitsgrade besitzen und besitzt genau so viele linear unabhängige Eigenmoden wie Freiheitsgrade.

Die Eigenmoden eines Systems können in eine gleichförmige Bewegung im Raum der verallgemeinerten Koordinaten und Eigenschwingungen oder Normalschwingungen eines Systems unterteilt werden. Dabei korrespondieren die gleichförmigen Bewegungen zu Eigenvektoren mit Eigenfrequenz Null und die Eigenschwingungen zu Eigenvektoren mit Eigenfrequenzen ungleich Null.

Jede Bewegung, die das System durchführen kann, kann als Überlagerung von Eigenmoden dargestellt werden.

Theorie

Die Lagrangefunktion eines Systems mit Freiheitsgraden sei

$L(q_{1},\dots ,q_{f},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{f})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1},\dots ,q_{f}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-U(q_{1},\dots ,q_{f})$

wobei $m_{{ij}}$ die Massenmatrix und das Potential ist. Bei der Näherung der Lagrangefunktion bis in zweiter Ordnung um die Gleichgewichtskoordinaten $q^{0}$ und der Vernachlässigung des konstanten Terms wird dies zu

$L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}{\bigg |}_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}(q_{i}-q_{i}^{0})(q_{j}-q_{j}^{0})$

respektive mit der Koordinatentransformation $x=q-q^{0}$ und den Abkürzungen $T_{ij}=T_{ji}=m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0})$ sowie $V_{ij}=V_{ji}=\partial ^{2}U/\partial q_{i}\partial q_{j}|_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}$ kurz

$L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}\left(T_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}-V_{ij}x_{i}x_{j}\right)$

Aus den Lagrangegleichungen ergeben sich die Bewegungsgleichungen des Systems

$\sum _{j_{1}}^{f}T_{ij}{\ddot {x}}_{j}=-\sum _{j=1}^{f}V_{ij}x_{j}\Leftrightarrow T{\ddot {x}}=-Vx$

wobei sowohl als auch $f\times f$ -Matrizen und ein -dimensionaler Vektor ist. Da die kinetische Energie immer größer als Null ist, ist positiv definit. Damit sich das System in einem stabilen oder indifferenten Gleichgewicht befindet, muss positiv semidefinit sein. Insbesondere sind daher alle Eigenwerte von und nichtnegativ.

Der Lösungsansatz der Gleichung lautet:

$x(t)=A\exp(-\mathrm {i} \omega t)$

Dies führt auf das Eigenwertproblem

$(V-\omega ^{2}T)A=0$ .

Um dieses nichttrivial zu lösen, muss die Determinante $\det(V-\omega ^{2}T)$ verschwinden. Diese ist ein Polynom vom Grad in $\omega ^{2}$ und besitzt daher komplexe Nullstellen. Die Nichtnegativität der Eigenwerte von und sorgt jedoch dafür, dass diese alle reell und nichtnegativ sind. Physikalisch kann dies wie folgt interpretiert werden: Angenommen, es gäbe eine Nullstelle im Negativen oder Komplexen, dann würde $\omega$ einen Imaginärteil besitzen und die Lösung divergieren. Dies steht im Widerspruch zur Annahme des stabilen Gleichgewichts.

Die (positiven) Wurzeln der Nullstellen des Polynoms

$P^{(f)}(\omega ^{2})=\det(V-\omega ^{2}T)$

sind die Eigenfrequenzen $\omega _{k}$ des Systems, das durch und beschrieben wird. Ein System mit Freiheitsgraden besitzt daher maximal Eigenfrequenzen.

Die Eigenschwingungen des Systems sind die Eigenvektoren des Eigenwertproblems, die die Gleichung

$(V-\omega _{k}^{2}T)A^{(k)}=0$

erfüllen. Insbesondere ist jedes Vielfache eines Eigenvektors auch ein Eigenvektor. Das bedeutet, diese können normiert und mit einer komplexen Konstanten c_k multipliziert werden.

Fallen mehrere Eigenfrequenzen zusammen, dann hat die Gleichung nicht vollen Rang und einige Komponenten der zugehörigen $A^{{(k)}}$ können frei gewählt werden. Hat die Matrix einen Eigenwert Null, liegt ein indifferentes Gleichgewicht vor. Dann ist auch eine Eigenfrequenz des Systems Null. In diesem Fall lautet die Eigenwertgleichung ${\ddot {x}}=0$ , sodass die Lösung eine gleichförmige Bewegung des Systems ist.

Die allgemeine Lösung des Gleichungssystems für die Schwingung des Systems ist daher eine Superposition seiner Eigenschwingungen und gegebenenfalls einer gleichförmigen Bewegung

$x(t)=\sum _{k=1 \atop \omega _{k}\neq 0}^{f}\operatorname {Re} \left(c_{k}A^{(k)}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)+\sum _{k=1 \atop \omega _{k}=0}^{f}A^{(k)}\left(x_{k}^{0}+C_{k}t\right)$

Für jeden Freiheitsgrad existieren daher entweder 2 reelle oder 1 komplexer freier Parameter. Es ergeben sich somit Konstanten, die durch Anfangsbedingungen festgelegt werden müssen.

Normalkoordinaten

Die Normalkoordinaten des Systems sind definiert als

$Q=a^{-1}x$

wobei

$a=\left({A_{i}}^{(k)}\right)$

ist, also die Matrix der Eigenvektoren. Diese Matrix der Eigenvektoren diagonalisiert sowohl als auch , denn aus der Symmetrie von folgt

$\left(\omega _{k}^{2}-\omega _{l}^{2}\right)\sum _{i,j=1}^{f}T_{ij}a_{il}a_{jk}=0$

sodass für alle nicht entarteten Eigenwerte alle Nichtdiagonalelemente von $a^{\mathrm {T} }Ta$ verschwinden müssen. Eine entsprechende Normierung der Eigenvektoren führt auf die Orthonormalitätsrelation

$a^{\mathrm {T} }Ta=1$

Für entartete Eigenwerte können die Eigenvektoren ebenfalls so gewählt werden, dass diese Matrix diagonal wird. Ebenfalls kann gezeigt werden, dass auch diagonalisiert. Mit $\lambda =\left(\omega _{k}^{2}\delta _{kl}\right)$ kann die Bewegungsgleichung als

$Va=Ta\lambda$

geschrieben werden, sodass die Behauptung durch Multiplikation mit $a^{\mathrm {T} }$ von links direkt folgt.

Somit entkoppelt eine Koordinatentransformation von den Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage in die Normalkoordinaten mittels $x=aQ$ das Gleichungssystem, denn es gilt:

$L={\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}^{\mathrm {T} }T{\dot {x}}-x^{\mathrm {T} }Vx\right)={\frac {1}{2}}\left({\dot {Q}}^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}-Q^{\mathrm {T} }\lambda Q\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\left({\dot {Q}}_{k}^{2}-\omega _{k}^{2}Q_{k}^{2}\right)$

Insbesondere ist

$Q_{k}=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)$

Beispiele

Federpendel

→ Hauptartikel: Federpendel

Ein Federpendel ist ein System, an dem eine Masse an einer Feder aufgehängt ist und das sich nur in eine Dimension bewegen kann. Es besitzt also nur einen einzigen Freiheitsgrad, die Auslenkung aus der Ruhelage. Für das Federpendel gilt $V=D$ und $T=m$ , wobei die Federkonstante und die Masse ist. Daher vereinfacht sich die Matrixgleichung auf eine skalare Gleichung

$(D-\omega ^{2}m)A=0$

mit einem Polynom ersten Grades in $\omega ^{2}$

$P(\omega ^{2})=\det \left(D-\omega ^{2}m\right)=D-\omega ^{2}m=0\Leftrightarrow \omega ^{2}={\frac {D}{m}}$

und einem Eigenvektor

Die Lösung ist also

$x(t)=\operatorname {Re} \left(c\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m}}}t\right)\right)$

CO₂-Molekül

In erster Näherung kann ein Kohlendioxid-Molekül als drei Massen angesehen werden, von denen die äußeren beiden identischen Massen $m_{O}$ mit der mittleren Masse $m_{C}$ durch Federn verbunden sind. Da die Bindungen beide gleichartig sind, sind die Federkonstanten beide . Die Indizes seien so gewählt, dass die Atome von links nach rechts durchnummeriert seien und es sei ferner angenommen, dass sich das Molekül nur entlang der Molekülachse bewegen könne, das heißt, es werden nur Valenz-, aber keine Deformationsschwingungen berücksichtigt. Daher existieren drei Freiheitsgrade des Systems: Die Entfernungen der drei Moleküle von ihrer Gleichgewichtslage. Dann gilt mit

$T={\begin{pmatrix}m_{O}&&\\&m_{C}&\\&&m_{O}\end{pmatrix}}$

$V=D{\begin{pmatrix}1&-1&\\-1&2&-1\\&-1&1\end{pmatrix}}$

für die Determinante des Systems

$P^{(k)}(\omega ^{2})=\omega ^{2}(D-\omega ^{2}m_{O})(\omega ^{2}m_{C}m_{O}-k(2m_{O}+m_{C}))$

Dessen drei Nullstellen liegen bei

$\omega _{1}^{2}=0,\qquad \omega _{2}^{2}={\frac {D}{m_{O}}},\qquad \omega _{3}^{2}={\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)$

und die Eigenvektoren sind

$A^{(1)}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\qquad A^{(2)}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\qquad A^{(3)}={\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}$ .

Dadurch ergibt sich die allgemeine Lösung zu

$x(t)={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\left(x_{1}^{0}+C_{1}t\right)+\operatorname {Re} \left({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}c_{2}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m_{O}}}}t\right)+{\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}c_{3}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {{\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}}t\right)\right)$ .

Die erste Eigenschwingung ist die Translation des gesamten Moleküls, die zweite beschreibt die gegenläufige Schwingung der beiden äußeren Sauerstoffatome, während das Kohlenstoffatom in Ruhe bleibt, und die dritte die gleichförmige Schwingung der beiden äußeren, wobei das mittlere Atom gegenläufig schwingt.

Schwingende Saite

Eine schwingende Saite besitzt unendlich viele Freiheitsgrade und entsprechend auch unendlich viele Eigenfrequenzen. Diese müssen jedoch den Randbedingungen des Problems genügen. Die Wellengleichung lautet

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{k}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0$

wobei u(x,t) die Auslenkung der Saite und c_k die Phasengeschwindigkeit der Welle ist. Die Lösung der Wellengleichung für ein festes ist

$u_{k}(x,t)=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} (\omega _{k}t-kx))\right)$

mit $\textstyle c_{k}={\frac {\omega _{k}}{k}}$ . Den Zusammenhang zwischen $\omega _{k}$ und nennt man die Dispersionsrelation des Systems. Für eine Saite ist $\textstyle c_{k}={\sqrt {S/\rho }}$ eine Konstante, die von der Spannung und der linearen Massendichte $\rho$ der Saite abhängt.

Die Randbedingungen an die schwingende Saite ist, dass die Enden fest eingespannt sind und sich daher für eine Saite der Länge für alle

$u(0,t)=u(L,t)=0$

sein muss. Dies führt zu der Randbedingung

$k={\frac {\pi n}{L}}$

mit einem beliebigen $n\in \mathbb {N}$ und somit abzählbar unendlich vielen verschiedenen und entsprechend vielen $\omega _{k}$ . Die Eigenfrequenzen der Saite sind daher

$\omega _{n}={\sqrt {\frac {S}{\rho }}}{\frac {\pi n}{L}}$

und die allgemeine Lösung der Wellengleichung ist eine Superposition über alle Eigenschwingungen:

$u(x,t)=\operatorname {Re} \left(\sum _{n}c_{n}\exp \left(-\mathrm {i} {\frac {\pi n}{L}}\left({\sqrt {\frac {S}{\rho }}}t-x\right)\right)\right)$

Normalschwingungen von Molekülen

Ein -atomiges Molekül hat Freiheitsgrade. Davon sind 3 Translationsfreiheitsgrade und im Fall eines linearen Moleküls 2 bzw. im Fall eines gewinkelten Moleküls 3 Rotationsfreiheitsgrade. Somit verbleiben 3N-5 bzw. 3N-6 Vibrationsfreiheitsgrade, die zu Eigenfrequenzen ungleich Null korrespondieren. Die Symmetrien dieser Molekülschwingungen können durch die gruppentheoretischen Charaktertafeln beschrieben werden. Die Normalschwingungen einer entarteten, von Null verschiedenen Eigenfrequenz stellen eine Basis für eine irreduzible Darstellung der Punktgruppe des schwingenden Moleküls dar.

Beim obigen Beispiel sind die anderen beiden Normalschwingungen die vernachlässigten transversalen Schwingungen der Atome in den beiden übrigen Raumrichtungen, die sich nicht in der Linie der Atome befinden.

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch einen Zustandsvektor $|\psi (t)\rangle$ dargestellt, der eine Lösung der Schrödingergleichung

$H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle$

ist. Wenn der Hamiltonoperator nicht zeitabhängig ist, ist eine formale Lösung der Schrödingergleichung

$|\psi (t)\rangle =\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}Ht\right)|\psi (0)\rangle$

Da der Hamiltonoperator ein vollständiges System von Eigenzuständen, den Energieeigenzuständen, besitzt, kann in diesen entwickelt werden. Mit $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ folgt

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}E_{n}t\right)|n\rangle \langle n|\psi (0)\rangle$

Dabei beschreiben die quantenmechanischen Eigenfrequenzen $\omega _{n}=E_{n}/\hbar$ keine Schwingung im Ortsraum, sondern eine Rotation im Hilbertraum, auf dem der Zustandsvektor definiert ist.

Technische Beispiele

Resonanz eines Lautsprechers

Eine Glocke, die angeschlagen wird, schwingt anschließend mit den Eigenfrequenzen. Durch Dämpfung klingt die Schwingung über die Zeit ab. Dabei werden höhere Frequenzen schneller abgedämpft als tiefere.
Eine Stimmgabel ist so konstruiert, dass außer der tiefsten Eigenfrequenz kaum weitere Eigenschwingungen angeregt werden.
In Gebäuden können Eigenfrequenzen angeregt werden. Wenn beim Nachbarn Musik läuft, kann es vorkommen, dass die Bässe mit einer Eigenfrequenz der Gebäudetrennwand gleichfrequent sind. Die von der Musik angeregten Schwingungen der Wand wären dann als Wummern wahrnehmbar, auch wenn die Musik selber gar nicht wahrnehmbar ist.
Trommeln haben mehrere Eigenfrequenzen.
Bei Membranen von Lautsprechern verschlechtern die Partialschwingungen die Wiedergabequalität.

Siehe auch

Resonanzfrequenz

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de