Massenwirkungsgesetz

Das Massenwirkungsgesetz (Abkürzung „MWG“) besagt, dass bei einer chemischen Reaktion im chemischen Gleichgewicht der Quotient aus

einen für die betrachtete Reaktion konstanten und charakteristischen Wert hat.

Das MWG gilt für Reaktionen, die reversibel sind. Die resultierende Gleichgewichtskonstante, auch Massenwirkungskonstante genannt, hat unter gegebenen Bedingungen einen für die betrachtete Reaktion spezifischen Wert, der nur über die äußeren Bedingungen (z.B. Temperatur oder Druck) beeinflusst werden kann. Die thermodynamische Erklärung hierfür ist, dass es immer einen energetisch niedrigsten und damit günstigsten Zustand gibt. Im chemischen und damit im thermodynamischen Gleichgewicht kommt die Reaktion nicht zum Stillstand; Hin- und Rückreaktion halten sich die Waage, das heißt, sie verlaufen gleich schnell.

Geschichte

Cato Maximilian Guldberg (links) und Peter Waage im Jahr 1891

Das Massenwirkungsgesetz wurde von den norwegischen Chemikern Cato Maximilian Guldberg und Peter Waage experimentell ermittelt und im Jahre 1867 erstmals veröffentlicht. Sie hatten das Massenwirkungsgesetz noch aus der so genannten „aktiven Masse“ hergeleitet (ein veralteter Ausdruck für die Aktivität), statt aus der Konzentration.

Exakte Formulierung

Die allgemeine Formulierung lautet:

K = \prod_{i} a_i^{{\nu}_i}

Hierbei sind :

Π das Produktzeichen,
ai die Aktivität des i-ten Teilchens in einer Reaktionsgleichung,
νi die Stöchiometrische Zahl des i-ten Teilchens, wobei für Edukte (linke Hälfte einer Reaktionsgleichung) negative Vorzeichen und für Produkte (rechte Hälfte einer Reaktionsgleichung) positive Vorzeichen für die Zahlen verwendet werden,
K die Gleichgewichtskonstante der angegeben Reaktionsgleichung.

Wird eine Reaktionsgleichung mit stöchiometrischen Zahlen formuliert, wird der Betrag der stöchiometrischen Zahlen verwendet, da in einer Reaktionsgleichung die Zahlen immer positiv sind. Ist für einen Reaktionspartner keine Zahl angegeben, ist der Faktor 1 gemeint.

 |\nu_ \mathrm A|\,\mathrm A + |\nu_ \mathrm B|\,\mathrm B \rightleftharpoons |\nu_ \mathrm C|\,\mathrm C + |\nu_ \mathrm D|\,\mathrm D

Die negativen stöchiometrischen Zahlen der Edukte führen zu negativen Exponenten beim Aufstellen der Gleichung und sorgen dafür, dass die Edukte im Nenner des Bruchs auftreten:

K = \frac{ {a_\text {C}}^{|\nu_\text {C}|} \cdot {a_\text {D}}^{|\nu_\text {D}|} }{ {a_\text {A}}^{|\nu_\text {A}|} \cdot {a_\text {B}}^{|\nu_\text {B}|} }

Die Gleichgewichtskonstante K gibt die Lage des Gleichgewichts an, beschreibt also, wie viele Produktmoleküle auf ein Eduktmolekül kommen. Eine exakte Herleitung des Gesetzes, die unabhängig vom Reaktionsweg ist, erfolgt in der Thermodynamik mit Hilfe des chemischen Potentials.

Ist die Änderung der Standardreaktions-Gibbs-Energie \Delta_r G^\circ einer Reaktion bekannt, lässt sich daraus die Standardgleichgewichtskonstante berechnen:

K^\circ=e^{- \frac{\Delta_r G^\circ}{R \cdot T}}

wobei R die universelle Gaskonstante, T die Temperatur und e die eulersche Zahl ist.

Statt mit der Aktivität wird das Massenwirkungsgesetz häufig mit der Stoffmengenkonzentration (Reaktionen in Lösung), dem Partialdruck (Reaktionen in einer Gasphase) oder dem Stoffmengenanteil aufgestellt, wodurch sich im Allgemeinen der Zahlenwert von K ändert. Das Massenwirkungsgesetz kann auch durch eine Kombination dieser Größen (Druck, Konzentration, …) ausgedrückt werden. Zur Unterscheidung fügt man im Index von K die Angabe der Größe, mithilfe derer K berechnet wurde (Kc für Konzentration, Kp für den Partialdruck, Kx für den Stoffmengenanteil), hinzu. Die verschiedenen Konstanten lassen sich durch einfache Beziehungen ineinander umrechnen.

Homogene Lösungsgleichgewichte

Für Reaktionen in verdünnter Lösung wird normalerweise die Konzentration benutzt. Für konzentriertere Lösungen kann der Aktivitätskoeffizient jedoch stark von 1 abweichen, so dass diese Näherung mit Vorsicht zu verwenden ist.

Das Massenwirkungsgesetz wird zum Beispiel für die Reaktion

\mathrm{\alpha\,A + \beta\,B \ \rightleftharpoons \ \gamma\,C + \delta\,D}

wie folgt formuliert:

K_c = \frac{c^\mathrm{\gamma}(\mathrm{C}) \cdot c^\mathrm{\delta}(\mathrm{D})}{c^\mathrm{\alpha}(\mathrm{A}) \cdot c^{\mathrm{\beta}}(\mathrm{B})}

Dabei sind c(A), c(B), c(C), c(D) die molaren Gleichgewichtskonzentration der Edukte bzw. Produkte. Sie werden auch häufig als [A], [B], [C] und [D] notiert. Im Exponenten finden sich die stöchiometrischen Zahl, also die Anzahl der Teilchen dieser Spezies, die für einen Formelumsatz benötigt werden, wobei aus Bequemlichkeit auf die mathematisch korrekte Behandlung ihrer Vorzeichen durch Betragzeichen verzichtet wird.

Homogene Gasgleichgewichte

Bei homogenen Gasgleichgewichten gilt für die Massenwirkungskonstante Kp mit den Partialdrücken pi:

K_p = \prod_{i} p_i^{{\nu}_i}

Bei der Bildung von Iodwasserstoff aus elementarem Wasserstoff und Iod

\mathrm{{H_2}_{(g)} + {I_2}_{(g)} \rightleftharpoons 2\ {HI}_{(g)}} stellt sich das Gleichgewicht
K_p = \frac{p^2 \mathrm{(HI)}}{p \mathrm{(H_2)}\cdot p \mathrm{(I_2)}} ein.

Kp und Kc bzw. pi und ci lassen sich über die Ideale Gasgleichung miteinander verknüpfen:

p_iV=n_iRT
\Leftrightarrow p_i=\frac{n_i}{V}RT=c_iRT

Für die Massenwirkungskonstante Kp bei der Bildung von Iodwasserstoff ergibt sich:

K_p =  \frac{ { [c \mathrm{(HI)} RT ]^2 }} { c \mathrm{(H_2)} RT \cdot \ c \mathrm{(I_2)} RT } = \frac{c^2 \mathrm{(HI)}}{c \mathrm{(H_2)} \cdot c \mathrm{(I_2)}} = K_c

Ist in einem Gasphasengleichgewicht die Teilchenanzahl der Produkte gleich der Teilchenanzahl der Edukte, so kürzt sich RT im Massenwirkungsgesetz heraus. Betrachtet man jedoch die Reaktion von Schwefeldioxid und Sauerstoff zu Schwefeltrioxid

\mathrm{2\ {SO_2}_{(g)} + {O_2}_{(g)} \rightleftharpoons  2\ {SO_3}_{(g)}} mit K_p = \frac{p^2 \mathrm{ \mathrm{(SO_3)}}}{p^2 \mathrm{(SO_2)} \cdot p \mathrm{(O_2)}}

und ersetzt die Drücke durch Konzentrationen ergibt sich:

K_p = \frac{ [c \mathrm{(SO_3)} RT ]^2}{[c \mathrm{(SO_2)} RT]^2 \cdot c \mathrm{(O_2)} RT } = \frac{c^2 \mathrm{ \mathrm{(SO_3)}}}{c^2 \mathrm{(SO_2)} \cdot c \mathrm{(O_2)}} \cdot \frac{1}{RT} = K_c \cdot \frac{1}{RT}

Die Teilchenzahl vermindert sich bei der Reaktion und ein Faktor 1/(RT) verbleibt im Massenwirkungsgesetz.

Betrachtet man die Bildung von Ammoniak im Haber-Bosch-Verfahren ergibt sich:

 \mathrm{{3\ H_2}_{(g)} + {N_2}_{(g)} \rightleftharpoons {2\ NH_3}_{(g)}}
 K_p  = \frac{ p^2 \mathrm{(NH_3)}}{p \mathrm{(N_2)} \cdot p^3 \mathrm{(H_2)}}
 K_p= \frac{ [c \mathrm{(NH_3)} RT]^2}{ c \mathrm{(N_2)} RT \cdot [c \mathrm{(H_2)} RT]^3} = \frac{c^2 \mathrm{(NH_3)}}{c \mathrm{(N_2)} \cdot c^3 \mathrm{(H_2)}} \cdot \frac{1}{(RT)^2} = K_c \cdot \frac{1}{(RT)^2}

Allgemein lässt sich also das Massenwirkungsgesetz eines Gasphasengleichgewichts ausdrücken als:

 K_p=K_c\cdot {(RT)^{\sum \nu_i}}

Dabei ist Σνi die Summe der Stöchiometrischen Zahlen der betrachteten Reaktion. Im Fall der Bildung von HI aus den Elementen ist Σνi = −1−1+2 = 0 und beim Haber-Bosch-Verfahren Σνi = −3−1+2 = −2.

Alternativ ist es oft zweckmässig, die Zusammensetzung der Gasphase über Molenbrüche (Stoffmengenanteile χi) anzugeben:

K_x = \prod_{i} x_i^{{\nu}_i} mit x_i = \frac{p_i}{p}

Allgemein gilt hier:

 K_x = K_c \cdot {\left( \dfrac{RT}{p} \right)^{\sum \nu_i}}

Verständnis

Hier einige der zu beachtenden Punkte:

Beispiele

Boudouard-Gleichgewicht

\mathrm{2\ {CO}_{(g)} \rightleftharpoons {CO_2}_{(g)} + {C}_{(s)}} \quad\quad K_p = \frac{p \mathrm{(CO_2)}}{p^2 \mathrm{(CO)}}

Säurekonstante von Essigsäure

\mathrm{CH_3COOH_{(aq)} + H_2O_{(aq)} \rightleftharpoons H_3O^+_{(aq)} + CH_3COO^-_{(aq)}} \quad\quad K_\mathrm{s} = \frac{c(\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+) \cdot c(\mathrm{CH_3COO}^-)}{c(\mathrm{CH_3COOH})} = K \cdot c(\mathrm{H_2O})

Synthese von Kaliumhexacyanidoferrat(II)

\mathrm{Fe^{2+} + 6\ CN^- \rightleftharpoons [Fe(CN)_6]^{4-}} \quad\quad K_A = \frac{[[Fe(CN)_6]^{4-}]}{[Fe^{2+}] \cdot [CN^-]^6}

Verwandte Größen und Prinzipien

KL Löslichkeitsprodukt
KS Säurekonstante
KB Basenkonstante
KW Ionenprodukt des Wassers
Puffer  

Das MWG in der Halbleiterelektronik

Das Massenwirkungsgesetz besagt, dass in Halbleitern im thermischen Gleichgewicht das Produkt aus den Ladungsträgerdichten aus Valenz- und Leitungsband konstant ist.

n_0p_0 = {n_i}^2

mit der intrinsischen Ladungsträgerdichte n_i und den Dichten der freien Elektronen und Löcher im thermischen Gleichgewicht n_0,p_0. Das Massenwirkungsgesetz gilt in intrinsischen, d. h. undotierten, sowie in dotierten Halbleitern.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 08.12. 2018