Vorzeichenregel von Descartes
Die Vorzeichenregel von Descartes wird in der Mathematik – ähnlich wie die Sturmsche Kette – benutzt, um die maximale Anzahl der positiven und negativen Nullstellen eines reellen Polynoms zu bestimmen.
Regel
Die Vorzeichenregel von Descartes lautet:
- Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese, wobei jede Nullstelle ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt wird.
Als wichtige Folgerung ergibt sich:
- Wenn ein reelles Polynom nur einen Vorzeichenwechsel hat, dann hat es genau eine einfache positive Nullstelle.
Sie ist nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes benannt, der sie 1637 in seinem Werk La Géométrie als erster beschrieben hat.
Beispiele
Maximale Anzahl der positiven Nullstellen
Bei dem Polynom
wechselt das Vorzeichen
der Koeffizienten dreimal. Nach
Descartes hat damit das Polynom 
drei positive Nullstellen oder eine positive Nullstelle. Tatsächlich hat es
genau eine positive Nullstelle.
Maximale Anzahl der negativen Nullstellen
Um die maximale Anzahl der negativen Nullstellen zu bestimmen, wird zunächst
aus dem Polynom
ein neues Polynom 
gebildet. Dies bedeutet, dass die Vorzeichen der Koeffizienten bei ungeradem Exponent
geändert werden, während die Vorzeichen der Koeffizienten bei geradem Exponent
unverändert bleiben. Auf dieses neue Polynom wird dann die Vorzeichenregel von
Descartes angewandt.
Betrachtet man wieder das Polynom
so lautet das neue Polynom
Hier wechselt das Vorzeichen der Koeffizienten viermal. Nach Descartes hat
damit das Polynom
entweder vier, zwei oder keine negative Nullstellen. Tatsächlich hat es keine
negative Nullstelle.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.01. 2020