Quadratsummen-Funktion

Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl n als Summe von k Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden. Sie wird bezeichnet als {\displaystyle r_{k}(n)}.

Definition

Die ersten Werte von rk
n n r1(n) r2(n) r3(n) r4(n) r5(n) r6(n) r7(n) r8(n)
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 4 6 8 10 12 14 16
2 2 0 4 12 24 40 60 84 112
3 3 0 0 8 32 80 160 280 448
4 22 2 4 6 24 90 252 574 1136
5 5 0 8 24 48 112 312 840 2016
6 2‧3 0 0 24 96 240 544 1288 3136
7 7 0 0 0 64 320 960 2368 5504
8 23 0 4 12 24 200 1020 3444 9328
9 32 2 4 30 104 250 876 3542 12112
10 2‧5 0 8 24 144 560 1560 4424 14112
11 11 0 0 24 96 560 2400 7560 21312
12 22‧3 0 0 8 96 400 2080 9240 31808
13 13 0 8 24 112 560 2040 8456 35168
14 2‧7 0 0 48 192 800 3264 11088 38528
15 3‧5 0 0 0 192 960 4160 16576 56448
16 24 2 4 6 24 730 4092 18494 74864
17 17 0 8 48 144 480 3480 17808 78624
18 2‧32 0 4 36 312 1240 4380 19740 84784
19 19 0 0 24 160 1520 7200 27720 109760
20 22‧5 0 8 24 144 752 6552 34440 143136

Die Funktion ist definiert als

{\displaystyle r_{k}(n):=\sum _{\begin{array}{c}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\\(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\end{array}}1\quad =\quad {\big |}\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\mid a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\right\}{\big |}},

d.h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von n als Summe von k Quadraten ganzer Zahlen mit k\geq 1. Es sei {\displaystyle r_{k}(0):=1}.

Beispielsweise ist {\displaystyle r_{2}(1)=4}, da {\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}} mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch {\displaystyle r_{2}(2)=4} wegen {\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}} mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist {\displaystyle r_{2}(3)=0}, weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.

Aus der Definition folgt sofort die Beziehung

{\displaystyle r_{k+m}(n)=\sum _{t=0}^{n}r_{k}(t)\ r_{m}(n-t),}

aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:

{\displaystyle r_{k+1}(n)=r_{k}(n)+2\sum _{t=1}^{\sqrt {n}}r_{k}(n-t^{2}).}

Durchschnittliche Größenordnung

Es sei

{\displaystyle R_{k}(x):=\sum _{n=0}^{x}r_{k}(n)=\sum _{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dotsb +a_{k}^{2}\leq x}1}.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer k-dimensionalen Kugel mit dem Radius {\sqrt  x} und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten

{\displaystyle R_{k}(x)=V_{k}x^{\frac {k}{2}}+O(x^{\frac {k-1}{2}})},

wobei die Konstanten V_{k} die Volumina der k-dimensionalen Einheitskugeln sind: {\displaystyle V_{2}=\pi ,\;V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi ,\;V_{4}={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2},\;\dots } und {\displaystyle O(.)} das Landau-Symbol ist.

Die durchschnittliche Größenordnung von {\displaystyle r_{k}(n)} ist damit {\displaystyle {\tfrac {k}{2}}V_{k}x^{{\tfrac {k}{2}}-1}}, also z.B. \pi die von {\displaystyle r_{2}(x)}.

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion {\displaystyle \vartheta (z,q)} für den Spezialfall z=0. Dafür gilt

{\displaystyle \vartheta _{3}(q):=\vartheta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\dotsb }

Man erhält daraus

{\displaystyle (\vartheta _{3}(q))^{k}=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}}q^{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}=n}1=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\ r_{k}(n)}

Spezielle Fälle

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r2(n)
Werte und durchschnittliche Größenordnung von r4(n)
Werte und durchschnittliche Größenordnung von r8(n)

Einfache Formeln ergeben sich für gerades k, z.B. (n>0):

Für k=2 gilt:

{\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}}(-1)^{(d-1)/2}}

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung {\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }, wobei p_{i} die Primfaktoren der Form {\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}} und q_{i} die Primfaktoren der Form {\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}} sind, ergibt sich als weitere Formel

{\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots },

wenn alle Exponenten {\displaystyle h_{1},h_{2},\dotsc } gerade sind. Ist mindestens ein h_i ungerade, dann ist {\displaystyle r_{2}(n)=0}. Nach Definition ist {\displaystyle r_{2}(n)} auch die Anzahl aller Gaußschen Zahlen mit der Norm n.

Die Formel für k=4 stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und ist gegeben als achtfache Summe aller Teiler von n, die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):

{\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n;4\nmid d}d}

{\displaystyle r_{4}(n)} ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm n.

Jacobi fand auch eine explizite Formel für k=8:

{\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\mid n}(-1)^{n+d}d^{3}}

Beziehung zur Sierpiński-Konstanten

Der Limes

{\displaystyle K:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \log n\right)}

existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:

{\displaystyle K=\pi (2\gamma +4\log \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\log \pi )}

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.04. 2020