BDF-Verfahren
Die BDF-Verfahren (englisch Backward Differentiation Formulas) sind lineare Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen:
- .
Dabei wird für eine Näherungslösung an den Zwischenstellen berechnet:
- .
Die Verfahren wurden 1952 von Charles Francis Curtiss und Joseph Oakland Hirschfelder eingeführt und sind seit dem Erscheinen der Arbeiten von C. William Gear 1971 als Löser für steife Anfangswertprobleme weit verbreitet.
Beschreibung
Im Gegensatz zu Adams-Moulton-Verfahren wird bei BDF-Verfahren nicht die rechte Seite durch ein Interpolationspolynom approximiert, stattdessen konstruiert man ein Polynom mit (maximalem) Grad , welches die letzten Approximationen an die Lösung sowie den unbekannten Wert interpoliert:
- .
Zusätzlich fordert man, dass das Interpolationspolynom die gegebene Differentialgleichung im Punkt löst, also dass gilt
- ,
und erhält so ein nichtlineares Gleichungssystem für die Bestimmung des implizit gegebenen Wertes .
Lagrange-Darstellung
Eine Möglichkeit für die Darstellung des Interpolationspolynoms ist die Lagrange-Darstellung. Dabei sind die Lagrange-Basispolynome mit den Stützstellen definiert durch
wobei das Kronecker-Delta ist. Damit folgt wegen direkt die Darstellung
- .
Mit der Forderung erhält man nun die lineare Rekursionsformel für die BDF-Verfahren:
- ,
wobei die Koeffizienten gegeben sind durch
- .
Alternative Lagrange-Darstellung
Alternativ betrachten wir die Lagrange-Basispolynome definiert durch
Damit folgt die Darstellung
- .
Dabei ist der Abstand der Stützstellen und die konstante Schrittweite des Verfahrens. Mit der Forderung , wobei hier
gilt, erhält man nun für die Berechnung der Koeffizienten
und damit die Rekursionsformel
Newton-Darstellung
Die Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms verwendet Rückwärtsdifferenzen, welche rekursiv definiert sind durch
Damit lässt sich schreiben als
- .
Diese Formel führt wegen für auf die Darstellung
der BDF-Verfahren.
Berechnungsformeln
Alle oben betrachteten Darstellungen der Berechnungsformeln sind äquivalent, da sie nur verschiedene Arten der Darstellung des eindeutigen Interpolationspolynoms verwendet haben. Für lauten die impliziten Berechnungsformeln der BDF(k)-Verfahren:
- BDF(1) – implizites Euler-Verfahren:
- BDF(2):
- BDF(3):
- BDF(4):
- BDF(5):
- BDF(6):
Eigenschaften
Die BDF-Verfahren sind alle implizit, da der unbekannte Wert in die Gleichung eingeht. BDF(k) besitzt genau die Konsistenzordnung k. Das Verfahren BDF(1) ist das implizite Euler-Verfahren. Dieses und BDF(2) sind A-stabil, die Verfahren höherer Ordnung A()-stabil, wobei der Öffnungswinkel sich mit höherer Ordnung verkleinert. Insbesondere BDF(2) ist aufgrund seiner optimalen Eigenschaften bezüglich der zweiten Dahlquist-Barriere bei der Berechnung steifer Differentialgleichungen sehr beliebt. Für k < 6 sind die Verfahren stabil und konsistent und damit auch konvergent. Der größte Anreiz der BDF-Verfahren sind ihre großen Stabilitätsgebiete, weshalb sie sich für den Einsatz bei der Lösung von steifen Anfangswertproblemen eignen. Für k > 6 sind die Verfahren instabil.
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BDF1
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BDF2
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BDF3
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BDF4
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BDF5
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BDF6
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.09. 2019