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Helmholtz-Theorem

Das Helmholtz-Theorem, auch Helmholtz-Zerlegung, Stokes-Helmholtz-Zerlegung oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis, (nach Hermann von Helmholtz) besagt, dass für gewisse Gebiete \Omega\subset\R^n der L^{p}-Raum als direkte Summe von divergenzfreien Funktionen und Gradientenfeldern geschrieben werden kann.

Definitionen

Für ein Gebiet \Omega\subset\R^n wird L_{\sigma }^{p}(\Omega )=\overline {\{u\in C_{c}^{\infty }(\Omega ):\nabla \cdot u=0\}}^{{\|\cdot \|_{p}}} der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei C_c^\infty(\Omega) der Raum der Testfunktionen ist und \|\cdot\|_p die p-Norm bezeichnet. Die Zerlegung

L^{p}(\Omega )=L_{\sigma }^{p}(\Omega )\oplus G_{p}

mit G_{p}=\{u=\nabla \phi :\phi \in L_{{\text{loc}}}^{1}(\Omega )\ {\text{und}}\ \nabla \phi \in L^{p}(\Omega )\} wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion P mit PL^{p}(\Omega )=L_{\sigma }^{p}(\Omega ), die sog. Helmholtz-Projektion.

Ist \Omega der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit C^{2}-Rand oder ein Außenraum mit C^{2}-Rand, so existiert die Zerlegung. Für p=2 existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit C^{2}-Rand.

Hat \Omega einen C^{1}-Rand, gilt L_{\sigma }^{p}(\Omega )=\{u\in L^{p}(\Omega ):\operatorname {div}u=0\ {\text{und}}\ u\cdot \nu =0\ {\text{auf}}\ \partial \Omega \}, wobei \nu die äußere Normale ist.

Mathematische Anwendung

In der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung

u_{t}-P\Delta u=f

für u,f\in L_{\sigma }^{p}(\Omega ). Gab es zuvor zwei Unbekannte, nämlich u und p, gibt es jetzt nur noch eine Unbekannte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent.

Der Operator P\Delta wird Stokes-Operator genannt.

Physikalische Betrachtung

Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld {\mathbf  {f}}({\mathbf  {r}}) als Superposition eines rotationsfreien (wirbelfreien) Feldes {\mathbf  {a}}({\mathbf  {r}}) und eines divergenzfreien (quellenfreien) Feldes {\mathbf  {b}}({\mathbf  {r}}) darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential \phi ({\mathbf  {r}}) darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential {\mathbf  {A}}({\mathbf  {r}}).

{\mathbf  {a}}({\mathbf  {r}})=-\operatorname {grad}(\phi ({\mathbf  {r}}))

und

{\mathbf  {b}}({\mathbf  {r}})=\operatorname {rot}({\mathbf  {A}}({\mathbf  {r}}))

dann folgt

\operatorname {rot}({\mathbf  {a}}({\mathbf  {r}}))=-\operatorname {rot}(\operatorname {grad}(\phi ({\mathbf  {r}})))\equiv 0

und

\operatorname {div}({\mathbf  {b}}({\mathbf  {r}}))=\operatorname {div}(\operatorname {rot}({\mathbf  {A}}({\mathbf  {r}})))\equiv 0

Es ist also möglich das Vektorfeld {\mathbf  {f}}({\mathbf  {r}}) durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale \phi ({\mathbf  {r}}) und {\mathbf  {A}}({\mathbf  {r}}) auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).

{\mathbf  {f}}({\mathbf  {r}})={\mathbf  {a}}({\mathbf  {r}})+{\mathbf  {b}}({\mathbf  {r}})=-\operatorname {grad}(\phi ({\mathbf  {r}}))+\operatorname {rot}({\mathbf  {A}}({\mathbf  {r}}))

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld {\mathbf  {f}}({\mathbf  {r}}) gewinnen:

\phi ({\mathbf  {r}})={\frac  {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac  {\operatorname {div}({\mathbf  {f}}({\mathbf  {r}}'))}{|{\mathbf  {r}}-{\mathbf  {r}}'|}}{\mathrm  {d}}^{3}r'
{\mathbf  {A}}({\mathbf  {r}})={\frac  {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac  {\operatorname {rot}({\mathbf  {f}}({\mathbf  {r}}'))}{|{\mathbf  {r}}-{\mathbf  {r}}'|}}{\mathrm  {d}}^{3}r'

Wobei V das die Felder enthaltende Volumen ist.

Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds {\mathbf  {f}}({\mathbf  {r}}), dass es für r\to \infty schneller als {\frac  {1}{r}} gegen {\displaystyle 0} geht, also \lim _{{r\to \infty }}{\mathbf  {f}}({\mathbf  {r}})r=0. Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.

Dieses Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Für alle physikalisch relevanten Probleme sind dabei die mathematischen Voraussetzungen erfüllt.

Redundanz

Während das ursprüngliche Vektorfeld an jedem Punkt von \Omega durch n Komponenten zu beschreiben ist, sind für das skalare und das Vektorpotential zusammen n+1 Komponenten nötig. Diese Redundanz lässt sich für n=3 beseitigen, indem der quellfreie Anteil des Vektorfeldes der toroidal-poloidalen Zerlegung unterworfen wird, wodurch letztlich insgesamt drei Skalarpotentiale zur Beschreibung ausreichen.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.11. 2020