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Reproduktivitätseigenschaft

Die Reproduktivitätseigenschaft einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen eines bestimmten Verteilungstyps wieder nach diesem Typ verteilt ist.

Reproduktiv sind etwa die Normalverteilung, die Poisson-Verteilung, die Gammaverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die Cauchy-Verteilung. Eine mit der Reproduktivität eng verwandte Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit.

Beispiel

Die Zufallsvariablen X_{{1}} und X_{{2}} seien unabhängig und normalverteilt als

{\displaystyle X_{1}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1};\sigma _{1}^{2})\quad {\text{und}}\quad X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}.

Die Zufallsvariable {\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}} ist dann ebenfalls normalverteilt als

{\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}.

Allgemein gilt: Aus {\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),\quad i=1,\ldots ,k} unabhängig folgt:

{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\mu _{i},\sum \limits _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\right)}.

Mehrere Parameter

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel X_{n},X_{m} binomialverteilt mit Parametern n,m und p, also X_{n}\sim B_{{n,p}} und X_{m}\sim B_{{m,p}}, so ist (X_{n}+X_{m})\sim B_{{n+m,p}}. Für fixiertes p ist also die Binomialverteilung B_{{n,p}} reproduktiv bezüglich n. Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.11. 2020