Semimartingal
Als Semimartingale werden in der Stochastik bestimmte Prozesse bezeichnet, die insbesondere für die Definition eines allgemeinen stochastischen Integrals von Bedeutung sind. Die Klasse der Semimartingale umfasst viele bekannte stochastische Prozesse wie den Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung) oder den Poisson-Prozess.
Definition
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum mit zugehöriger Filtration . Dabei wird angenommen, dass die Filtration vollständig ist (alle P-Nullmengen sind -messbar).
Ein Semimartingal ist dann ein stochastischer Prozess mit Werten in mit:
- ist an adaptiert,
- die Pfade/Trajektorien von sind càdlàg, also rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren,
- es existiert eine (nicht notwendig eindeutige) Darstellung:
wobei fast sicher endlich und -messbar, ein lokales Martingal und ein Prozess von lokal endlicher Variation ist.
Eigenschaften
Stochastische Integration
Wie bereits in der Einleitung angedeutet, lassen sich mit Hilfe von Semimartingalen allgemeine stochastische Integrale konstruieren. Semimartingale stellen die größte Klasse von Integratoren dar, für die ein Integral der Form
sinnvoll definiert werden kann. stammt in diesem Fall aus der Menge aller lokal beschränkten vorhersagbaren Prozesse.
Stabilität unter Transformationen
Die Klasse der Semimartingale ist unter vielen Operationen stabil. Nicht nur ist jedes gestoppte Semimartingal offensichtlich wieder ein Semimartingal, auch unter Lokalisierung, einem "Wechsel der Zeit" oder einem Übergang zu einem neuen absolut stetigen Maß bleiben Semimartingale erhalten.
Beispiele
Martingale
Jedes Martingal ist trivialerweise ein Semimartingal, da jedes Martingal selbst ein lokales Martingal ist.
Außerdem ist jedes Submartingal ein Semimartingal sowie jedes Supermartingal, sofern es rechtsstetig mit linksseitig existierenden Grenzwerten ist.
Sprungprozesse
Viele Sprungprozesse wie verallgemeinerte Poisson-Prozesse sind Semimartingale, da sie von beschränkter Variation sind.
Ito-Prozesse
Unter anderem in der Finanzmathematik spielen Ito-Prozesse eine zentrale Rolle. Diese sind darstellbar als
wobei der letzte Term ein Ito-Integral mit Volatilitätsprozess bezeichnet. Dieser Term ist ein lokales Martingal.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.04. 2021