Bernoulli-Prozess

Ein Bernoulli-Prozess oder eine Bernoulli-Kette (benannt nach Jakob I Bernoulli) ist ein zeitlich diskreter stochastischer Prozess, der aus einer endlichen oder abzählbar-unendlichen Folge von unabhängigen Versuchen mit Bernoulli-Verteilung zum selben Parameter p\in \left[0,1\right] besteht. Das heißt, für jeden der Zeitpunkte 1, 2, 3, … wird „ausgewürfelt“, ob ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit p eintritt oder nicht.

Hier ist ein Beispiel für eine mögliche Realisierung eines Bernoulli-Prozesses; das Symbol ♦ steht für „Ereignis tritt ein“ (kurz „Erfolg“), ◊ für „Ereignis tritt nicht ein“ („Misserfolg“), diese konkrete Folge von Ereignissen könnte z.B. bei p=1/3 eintreten, sodass „Erfolg“ seltener ist als „Misserfolg“:

◊-♦-◊-♦-◊-◊-♦-◊-♦-◊-♦-◊-◊-◊-◊-◊-♦-◊-◊-◊-◊-◊-◊-◊-…

Der Prozess kann durch eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc beschrieben werden, von denen jede mit der konstanten Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 (Erfolg) und mit der Wahrscheinlichkeit 1-p den Wert 0 (Misserfolg) annimmt.

Je nach Fragestellung interessiert man sich für eine oder mehrere der folgenden Zufallsvariablen:

Eigenschaften

Die Anzahl der Erfolge nach n Versuchen bei einem Bernoulli-Prozess ist eine spezielle Markow-Kette: Beim „Zeitschritt“ von n nach n+1 geht das System mit der Wahrscheinlichkeit p aus dem „Zustand“ k in den Zustand k+1 über; sonst bleibt es im Zustand k.

Die Zufallsvariable S_{n}, die angibt, wie viele von n Bernoulli-Versuchen erfolgreich waren, folgt der Binomialverteilung. Wir leiten diese Verteilung im folgenden Beispiel mit einem Würfel her.

Beispiele

B(2|p,5)=\left({\begin{matrix}5\\2\end{matrix}}\right)p^{2}(1-p)^{5-2}.
Davon verallgemeinert lautet die Wahrscheinlichkeit in n Bernoulli-Versuchen genau k mal Erfolg zu haben
P(S_{n}=k)=B(k|p,n)=\left({\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right)p^{k}(1-p)^{n-k}.
Diese Funktion heißt Binomialverteilung (oder binomische Verteilung).
Y_{n}=Y_{0}+\sum _{k=1}^{n}(2X_{k}-1)=Y_{0}+2S_{n}-n.
Ist beispielsweise eine Realisierung des Bernoulli-Prozesses durch die Folge
(X_{n})=1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,\ldots
gegeben, dann ist für Y_{0}=0 der zugehörige Random Walk die Folge
(Y_{n})=1,0,-1,0,1,2,1,2,3,2,\ldots .

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.08. 2021