Rang (Statistik)

In einer Reihe von statistischen Beobachtungen ergibt sich der Rang einer einzelnen Beobachtung als ihre Position, wenn alle Beobachtungswerte der Größe nach geordnet und durchnummeriert werden.

Es ist möglich, dass mindestens zwei Beobachtungen den gleichen Wert haben. Man spricht dann von Bindungen oder Verbundwerten (engl. Ties). Der Rang ist daher nicht wohldefiniert.

In der Stochastik ist der Rang aber fast sicher eindeutig erklärt, falls die einzelnen Beobachtungen unabhängig und stetig verteilt sind. Auf der Auswertung der Ränge innerhalb von Stichproben basiert eine Reihe von statistischen Tests in der parameterfreien Statistik. Die nach ihrem Rang geordneten Beobachtungswerte heißen Ordnungsstatistiken.

Definition

Die Beobachtungswerte werden der Größe nach sortiert. Im Fall, dass kein Wert mehrfach auftritt, bekommt der kleinste Wert meistens den Rang 1, der nächstgrößere (also zweitkleinste) den Rang 2 usw. Mögliche Vorgehensweisen bei mehrfach auftretenden Werten (sogenannten Bindungen) sind unten aufgeführt.

Die übliche Schreibweise ist $x_{(i)}$ für den Beobachtungswert mit dem Rang .

Beispiel

Folgende Beobachtungen wurden für die monatlichen Aufwendungen für Freizeitgüter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht:

Beobachtungsnummer	1	2	3	4
Beobachtungswert	220	240	220	180
Rang	2 oder 3	4	2 oder 3	1

Also: $x_{(4)} = 240 = x_2$ , d.h. $x_{(4)}$ ist der Beobachtungswert mit dem Rang und $x_{2}$ der zweite Beobachtungswert in der Datenreihe.

Die Beobachtungen können zu einer Rangliste geordnet werden:

Listenrang	Beobachtungsnummer	Beobachtungswert
1.	4	180
2.- 3.	1	220
"	3	"
4.	2	240

Bindungen

In der Praxis kann es vorkommen, dass Beobachtungswerte mehrfach auftreten. Man spricht davon, dass Bindungen in den Beobachtungswerten auftreten. Da Beobachtungen mit gleichen Werte nicht unterschiedliche Ränge haben sollten, müssen diese behandelt werden. Da in der Statistik oft Rangsummen betrachtet werden, ist eine oft gestellte Anforderung an Verfahren, die Bindungen behandeln, dass die Summe der Ränge von Beobachtungen gerade $1+2+3+\ldots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}$ ist.

Verschiedene Verfahren können benutzt werden um eine eindeutige Rangzuordnung zu finden:

Mittelwert: Den ranggleichen Beobachtungen wird das arithmetische Mittel der auf sie fallenden Ränge zugeordnet.

Beispiel: Folgende Beobachtungen wurden für die monatlichen Aufwendungen für Freizeitgüter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht:

Beobachtungsnummer	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Beobachtungswert	125	315	215	105	200	170	170	220	220	220
Rang	2	10	6	1	5	3,5	3,5	8	8	8

Den Beobachtungswerten 170 müssten die Ränge 3 und 4 zugeordnet werden. Das arithmetische Mittel ergibt sich zu ${\tfrac {3+4}{2}}=3{,}5$ .
Den Beobachtungswerten 220 müssten die Ränge 7, 8 und 9 zugeordnet werden. Das arithmetische Mittel ergibt sich zu ${\tfrac {7+8+9}{3}}=8$ .

Randomisierung: Den ranggleichen Beobachtungswerten wird zufällig einer der Ränge derselben zugeordnet.

A-fortiori-Methode: Im Falle der Durchführung eines Tests wird die Rangfolge so festgelegt, dass die Nullhypothese $H_{0}$ begünstigt wird.

Eigenschaften

Die Summe der Ränge einer Datenreihe ist

$1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

(Gaußsche Summenformel). Auch bei Bildung des arithmetischen Mittels zur Berechnung der Ränge bei Bindungen bleibt diese Eigenschaft erhalten.

Siehe auch

Median

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de