Cauchy-Produktformel
Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen. Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung.
Definition
Sind und zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe
- mit
ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt
Die Reihe wird Cauchy-Produkt der Reihen und genannt. Die Koeffizienten können als diskrete Faltung der Vektoren und aufgefasst werden.
Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:
Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.
Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt
Beispiele
Anwendung auf die Exponentialfunktion
Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt. Die Exponentialfunktion konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält
Nach Definition des Binomialkoeffizienten kann man das weiter umformen als
wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.
Eine divergente Reihe
Es soll das Cauchy-Produkt
einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.
Hier gilt
Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt
Da die somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe
Berechnung der inversen Potenzreihe
Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür und . Die Koeffizienten berechnen wir mithilfe von:
- ,
wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:
Zur Vereinfachung und o.B.d.A. setzen wir und finden .
Verallgemeinerungen
Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.
Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.
Literatur
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 13.02. 2021