Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definitionen

Symplektische Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit (X,\omega) ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur J, welche mit der symplektischen Form \omega kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

{\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}

auf dem Tangentialraum von X an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Komplexe Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit X mit einer hermitischen Metrik h dessen zugehörige 2-Form \omega ist geschlossen. Genauer gesagt, gibt h eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum TX an jedem Punkt von X und die 2-Form \omega ist definiert durch

{\displaystyle \omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)}

für Tangentialvektoren u und v. Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik g angesehen werden definiert durch

{\displaystyle g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).}

Riemannsche Sichtweise

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, J\colon TM\to TM eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung J\colon TM\to TM mit {\displaystyle J^{2}=-Id} und g\colon {\mathcal  {V}}(M)\times {\mathcal  {V}}(M)\to C^{{\infty }}(M;{\mathbb  {R}}) eine riemannsche Metrik, wobei {\mathcal  {V}}(M) den Raum der glatten Vektorfelder auf M bezeichnet. Das Tripel (M,J,g) heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

für alle Vektorfelder X,Y\in {\mathcal  {V}}(M) gilt und

ist. Die 2-Form \omega heißt dann die Kähler-Form von M.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Hogde-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension N, ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten r-Formen als {\displaystyle \Delta _{d}:=dd^{*}+d^{*}d} definiert, wobei d die äußere Ableitung und {\displaystyle d^{*}:=-(-1)^{Nr}\star d\star } ist und \star den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermetische Mannigfaltigkeit X werden d und {\displaystyle d^{*}} zerlegt als

{\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

{\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}:={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }:=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}

Wenn X Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

{\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit X die Gleichheit

{\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X)}

gilt, wobei {\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}} der Raum harmonischer r-Formen auf X (Formen \alpha mit {\displaystyle \Delta \alpha =0}) und {\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}} der Raum harmonischer (p,q)-Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform \alpha harmonisch ist, wenn alle ihre (p,q)-Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit X, gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie {\displaystyle H^{r}(X,\mathbb {C} )} von X mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

{\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).}

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von X als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von X als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

  1. Der komplexe Raum \mathbb {C} ^{n}.
  2. Ein kompakt komplexer Torus {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }.
  3. Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
  4. Der komplex-projektive Raum {\displaystyle \mathbb {C} P^{n}} und projektive Varietäten {\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}}.
  5. Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
  6. Hermetisch symmetrische Räume.
  7. Jede K-3 Oberfläche ist Kähler.
  8. Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 12.02. 2022