(LF)-Raum

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Definition

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum E, für den es eine Folge (E_{n})_{n} von Fréchet-Räumen gibt, so dass Folgendes gilt:

  1. E_{n}\subset E_{{n+1}} für alle n\in {{\mathbb  N}}
  2. Für jedes n\in {{\mathbb  N}} trägt E_{n} die durch E_{{n+1}} gegebene Teilraumtopologie.
  3. E ist die Vereinigung aller E_{n}.
  4. E trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen E_{n}\subset E stetig macht.

In dieser Situation nennt man (E_{n})_{n} eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für E. Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Manche Autoren schwächen die zweite Bedingung auch ab und fordern nur, dass die Inklusion von E_{n} nach E_{{n+1}} stetig ist. Für solche allgemeineren (LF)-Räume sind nicht alle unten angegebenen Eigenschaften automatisch erfüllt, insbesondere gibt es dann (LF)-Räume, die nicht vollständig sind.

Beispiele

Jeder Fréchet-Raum E ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge E_{n}=E wählen.

Sei c_{{00}} der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man {\mathbb {K} }^{n} mit dem Raum aller Folgen, die ab der (n+1)-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist ({{\mathbb  K}}^{n})_{n} eine darstellende Folge für den (LF)-Raum c_{{00}}, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf c_{{00}} ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d.h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist K\subset {{\mathbb  R}}^{m} kompakt, so sei {\displaystyle C^{\infty }(K)} der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in K. Ist \Omega \subset {{\mathbb  R}}^{m} offen, so nennt den Raum {{\mathcal  D}}(\Omega ):=\bigcup \{C^{{\infty }}(K);\,K\subset \Omega \,\,{\text{kompakt}}\} den Raum der Testfunktionen auf \Omega . {{\mathcal  D}}(\Omega ) trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen C^{{\infty }}(K)\subset {{\mathcal  D}}(\Omega ) stetig macht. Dann ist {{\mathcal  D}}(\Omega ) ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge {\displaystyle (C^{\infty }(K_{n}))_{n}} nehmen, wobei (K_{n})_{n} eine Folge von kompakten Teilmengen in \Omega ist, so dass jedes K_n im Inneren von K_{{n+1}} liegt und \Omega die Vereinigung dieser K_n ist. Die Topologie auf {{\mathcal  D}}(\Omega ) ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften

Beschränkte Mengen

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge (E_{n})_{n} gilt folgender Satz:

Stetigkeit

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum E mit darstellender Folge (E_{n})_{n} in einen anderen lokalkonvexen Raum F lässt sich wie folgt charakterisieren:

Vollständigkeit

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist (T_{\alpha })_{{\alpha \in I}} eine Familie stetiger linearer Operatoren E\rightarrow F zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei E (LF)-Raum sei, und ist \{T_{\alpha }(x);\alpha \in I\} für jedes x\in E beschränkt, so ist (T_{\alpha })_{{\alpha \in I}} gleichstetig, d.h. zu jeder Nullumgebung V\subset F gibt es eine Nullumgebung U\subset E, so dass {\displaystyle T_{\alpha }(U)\subset V} für alle \alpha \in I.

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung T:E\rightarrow F zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung T:E\rightarrow F zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge \Omega \subset {{\mathbb  R}}^{m} als lineare Abbildung T:{{\mathcal  D}}(\Omega )\rightarrow {{\mathbb  R}}, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist K\subset \Omega kompakt und ist (f_{n})_{n} eine Folge in {{\mathcal  D}}(\Omega ), so dass jedes f_{n} Träger in K hat und so dass f_{n}\to 0 gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist T(f_{n})\to 0.

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat, Folgenstetigkeit zu betrachten, denn {{\mathcal  D}}(\Omega ) ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von T auf {\displaystyle C^{\infty }(K)}, K\subset \Omega kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf {{\mathcal  D}}(\Omega ).

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum {{\mathcal  D}}(\Omega ) definieren.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.11. 2020