Friedrichssche Erweiterung

Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

Halb-beschränkte Operatoren

Wir betrachten einen linearen Operator , der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von und wird mit D(A) bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator zu einem auf einem D(A) umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl gibt, so dass $\langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}$ für alle $\xi \in D(A)$ . Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle $\langle A\xi ,\xi \rangle$ reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.

Energetischer Raum

Sei ein halb-beschränkter Operator mit $\langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}$ für alle $\xi \in D(A)$ und $\lambda$ sei eine reelle Zahl mit $\lambda +c>0$ . Sei

$[\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\langle A\xi ,\eta \rangle +\lambda \langle \xi ,\eta \rangle$ für $\xi ,\eta \in D(A)$ .

Dann ist $[\cdot ,\cdot ]_{\lambda }$ eine positiv definite Form auf D(A) und man kann daher die Norm $\|\xi \|_{\lambda }:={\sqrt {[\xi ,\xi ]_{\lambda }}}$ auf D(A) definieren. D(A) ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

$H_{\lambda }:=\{\xi \in H;{\rm {Es\,gibt\,eine\,Folge}}\,(\xi _{n})_{n}\,{\rm {in}}\,D(A)\,{\rm {mit}}\|\xi _{n}-\xi \|{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0\,{\rm {und}}\,\|\xi _{n}-\xi _{m}\|_{\lambda }{\stackrel {n,m\to \infty }{\longrightarrow }}0\}$ .

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf bezieht. Eine Folge $(\xi _{n})_{n}$ in der Definition von $H_{\lambda }$ heißt eine approximierende Folge für $\xi \in H_{\lambda }$ . Offenbar ist $D(A)\subset H_{\lambda }$ , denn für $\xi \in D(A)$ kann man als approximierende Folge die konstante Folge $\xi _{n}=\xi$ wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

Sind $\xi ,\eta \in H_{\lambda }$ mit approximierenden Folgen $(\xi _{n})_{n}$ und $(\eta _{n})_{n}$ , so existiert der Limes $[\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\lim _{n\to \infty }[\xi _{n},\eta _{n}]_{\lambda }$ und setzt die auf definierte Form fort.
$H_{\lambda }$ ist mit der positiv definiten Form $[\cdot ,\cdot ]_{\lambda }$ ein Hilbertraum.
Ist auch $\mu$ eine reelle Zahl mit $\mu +c>0$ , so ist $H_{\lambda }=H_{\mu }\subset H$ als Mengen, die durch $[\cdot ,\cdot ]_{\lambda }$ bzw. $[\cdot ,\cdot ]_{\mu }$ definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum $H_{\lambda }$ hängt also nur von und nicht vom speziellen $\lambda$ ab; er wird daher mit $H_{A}$ bezeichnet und heißt der energetische Raum von .

Friedrichssche Erweiterung

Sei ein halb-beschränkter Operator. Dann ist symmetrisch, das heißt, es gilt $A\subset A^{*}$ , wobei A^* der adjungierte Operator ist. Definiert man

$A_{F}\xi :=A^{*}\xi$ für $\xi \in D(A_{F}):=H_{A}\cap D(A^{*})$ ,

so ist $A_{F}$ ein selbstadjungierter Operator, der erweitert. $A_{F}$ heißt die Friedrichssche Erweiterung von .

Man beachte, dass im Allgemeinen weder noch A^* selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen und A^* gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von A^* auf diesem Teilraum ist. Es ist daher $A\subset A_{F}\subset A^{*}$

Literatur

Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, 1980.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de