Symmetrischer Operator

Ein symmetrischer oder auch formal selbstadjungierter Operator ist ein Objekt aus der Mathematik. Ein solcher linearer Operator wird insbesondere in der Funktionalanalysis im Kontext unbeschränkter Operatoren betrachtet. Denn ein beschränkter symmetrischer Operator ist ein selbstadjungierter Operator.

In vielen Anwendungen werden Operatoren berücksichtigt, die unbeschränkt sind. Beispiele hierfür sind die Impuls- und Hamilton-Operatoren in der Quantenmechanik sowie viele lineare Differentialoperatoren. Bei unbeschränkten Differentialoperatoren, die für beschränkte Domänen definiert sind, ist es von der Wahl der Randbedingungen abhängig, ob ein symmetrischer Differentialoperator auch wesentlich selbstadjungiert oder sogar selbstadjungiert ist.

Definition

Sei H ein Hilbertraum. Ein linearer Operator T\colon D(T)\to H heißt symmetrisch, falls

\langle Ty,x\rangle =\langle y,Tx\rangle

für alle x,\,y\in D(T) gilt. Mit {\displaystyle D(T)\subset H} wird der Definitionsbereich von T bezeichnet.

In der Definition wurde nicht gefordert, dass ein symmetrischer Operator dicht definiert sein muss. Jedoch gibt es erst einen zu T adjungierten Operator, wenn T dicht definiert ist. Daher ist die Definition des symmetrischen Operators in der Literatur in diesem Punkt nicht einheitlich.

Eigenschaften

{\displaystyle \langle Tx,x\rangle \leq C\|x\|^{2}} oder {\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geq C\|x\|^{2}}
dann ist er sogar selbstadjungiert.

Beispiel

Sei D der Funktionenraum der absolut stetigen Funktionen f auf [0,1], die auf dem Rand verschwinden – also für die {\displaystyle f(0)=f(1)=0} gilt. Da der Raum der absolut stetigen Funktionen über einem Kompaktum isomorph zum entsprechenden Sobolev-Raum {\displaystyle W^{1,1}} ist, kann der zuvor definierte Raum D als Sobolev-Raum {\displaystyle W_{0}^{1,1}([0,1])} mit Nullrandbedingung verstanden werden. Betrachte nun den Differentialoperator

{\displaystyle i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\colon D\to L^{2}([0,1])}

in den Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen L^{2}([0,1]). Dieser ist symmetrisch bezüglich des komplexen L^{2}-Skalarproduktes. Dies kann mittels partieller Integration gezeigt werden. Jedoch ist {\displaystyle i{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\colon D\to L^{2}([0,1])} nicht selbstadjungiert, da der zu {\displaystyle i{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}} adjungierte Operator per Definition den maximalen Definitionsbereich hat, daher gilt für den adjungierten Operator

{\displaystyle \left(i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{*}\colon W^{1,1}([0,1])\to L^{2}([0,1])}.

Hier erfüllen die Funktionen im Definitionsbereich von {\displaystyle \left(i{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{*}} nicht mehr die Nullrandbedingung. Eine andere Wahl der Randbedingung von {\displaystyle i{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}} kann diesen zu einem selbstadjungierten Operatoren machen.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.02. 2021