Satz von Hellinger-Toeplitz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.

Formulierung

Es seien H ein Hilbertraum und T:H\rightarrow H ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle x,\,y\in H die Gleichung

\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle

erfüllt. Dann ist T stetig.

Beweis

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist (x_{n})_{{n\in {\mathbb  N}}} eine Nullfolge und Tx_{n} konvergent, dann ist \lim _{{n\rightarrow \infty }}Tx_{n}=0.
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf H und setzt y:=\lim _{{n\rightarrow \infty }}Tx_{n}, dann folgt

\langle y,y\rangle =\langle \lim _{{n\rightarrow \infty }}Tx_{n},y\rangle =\lim _{{n\rightarrow \infty }}\langle Tx_{n},y\rangle =\lim _{{n\rightarrow \infty }}\langle x_{n},Ty\rangle =\langle \lim _{{n\rightarrow \infty }}x_{n},Ty\rangle =\langle 0,Ty\rangle =0,

also y = 0.

Folgerungen

Verallgemeinerung

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien H_{1} und H_{2} Hilberträume und T:H_{1}\rightarrow H_{2} ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator S:H_{2}\rightarrow H_{1}, der für alle x\in H_{1} und y\in H_{2} die Gleichung

{\displaystyle \langle Tx,y\rangle _{H_{2}}=\langle x,Sy\rangle _{H_{1}}}

erfüllt. Dann sind T und S stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.02. 2021