Satz von Hellinger-Toeplitz
Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.
Formulierung
Es seien ein Hilbertraum und ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle die Gleichung
erfüllt. Dann ist stetig.
Beweis
Nach dem Satz
vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist
eine Nullfolge und
konvergent, dann ist .
Verwendet man die Stetigkeit
des Skalarprodukts auf
und setzt ,
dann folgt
also .
Folgerungen
- Da der Operator linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
- Jeder symmetrische, überall auf definierte Operator ist selbstadjungiert.
- Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.
Verallgemeinerung
Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:
Es seien und Hilberträume und ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator , der für alle und die Gleichung
erfüllt. Dann sind und stetig.
Der Beweis geht analog.
Literatur
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.02. 2021