Normale Konvergenz

In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung unendlicher Funktionenreihen. Eingeführt wurde der Begriff vom französischen Mathematiker René Louis Baire.

Definition

Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} } und eine beliebige Teilmenge A von X sei

{\displaystyle \Vert f\Vert _{A}:=\sup _{x\in A}\left|f(x)\right|}

die Supremumsnorm. Eine Reihe \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n} von Funktionen {\displaystyle f_{n}\colon X\to \mathbb {C} } heißt normal konvergent, wenn es zu jedem x\in X eine Umgebung U von x gibt, sodass gilt:

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{U}<\infty }

Beispiel

Betrachte die Funktionenfolge {\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}} auf dem kompakten Intervall {\displaystyle I:=[-q,q]} mit 0<q<1. Dann ist {\displaystyle \Vert f_{n}\Vert _{I}=q^{n}} und die Reihe

\sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{I}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}

konvergiert (als geometrische Reihe wegen |q|<1). Die Funktionenreihe ist also normal konvergent und ihre Grenzfunktion {\displaystyle \textstyle x\mapsto {\frac {1}{1-x}}} ist stetig auf I.

Eigenschaften

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in X normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt, zu jedem Punkt x_{0}\in X gibt es eine Umgebung U(x_{0}), in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.12. 2020