Normale Konvergenz
In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung unendlicher Funktionenreihen. Eingeführt wurde der Begriff vom französischen Mathematiker René Louis Baire.
Definition
Sei ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen und eine beliebige Teilmenge von sei
die Supremumsnorm. Eine Reihe von Funktionen heißt normal konvergent, wenn es zu jedem eine Umgebung von gibt, sodass gilt:
Beispiel
Betrachte die Funktionenfolge auf dem kompakten Intervall mit . Dann ist und die Reihe
konvergiert (als geometrische Reihe wegen ). Die Funktionenreihe ist also normal konvergent und ihre Grenzfunktion ist stetig auf .
Eigenschaften
Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt, zu jedem Punkt gibt es eine Umgebung , in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt.
Wichtig sind noch folgende Tatsachen:
- Linearkombinationen und das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.
- Sind alle stetig, so ist auch die Grenzfunktion stetig, wenn normal konvergiert.
- Konvergiert eine Reihe normal, so konvergieren alle Umordnungen dieser Reihe normal, und zwar gegen dieselbe Grenzfunktion.
Literatur
- R. Remmert: Funktionentheorie I. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1989, ISBN 3-540-51238-1.
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.12. 2020