Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb$

definiert ist. Das ist der Wert $\zeta (3)$ der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Grundlegendes

Ein Näherungswert ist

$\zeta (3)=1{,}20205{\text{ }}69031{\text{ }}59594{\text{ }}28539{\text{ }}97381{\text{ }}61511{\text{ }}44999{\text{ }}07649{\text{ }}86292{\text{ }}34049{\text{ }}\dotso$ (Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand August 2020) sind 1.200.000.000.100 dezimale Nachkommastellen bekannt, ihre Berechnung wurde von Seungmin Kim am 26. Juli 2020 vollendet.

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet. Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist. Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist oder ob $\zeta (3)/\pi ^{3}$ irrational ist (mit Kreiszahl $\pi$ ). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen $\zeta (2n+1),\,n=1,2,3,\dotsc$ irrational sein, dabei mindestens eine von $\zeta (5),\zeta (7),\zeta (9)$ und $\zeta (11)$ .

Für das Irrationalitätsmaß $\operatorname {r} (\zeta )=\inf R$ , wobei die Menge der positiven reellen Zahlen $\rho$ ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen und mit $\textstyle 0<\mid \zeta -{\frac {p}{q}}\mid <{\frac {1}{q^{\rho }}}$ existieren, sind die Schranken $2\leq r(\zeta (3))<5{,}513891$ bekannt, insbesondere ist $\zeta (3)$ nicht liouvillesch.

Der Kehrwert ${\tfrac {1}{\zeta (3)}}=0{,}83190737258070746868\dotso$ (Folge A088453 in OEIS) ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit ${\tfrac {1}{\zeta (nk)}}$ keine -te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.

Reihendarstellungen

Apéry verwendete die Formel

$\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.$

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}$

mit den harmonischen Zahlen $H_{n}$ . Zahlreiche verwandte Formeln wie

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{{i=1}}^{\infty }\sum _{{j=1}}^{\infty }{\frac {1}{ij(i+j)}}$

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante. Aus $\zeta (z)/2^{z}=\lambda (z)/(2^{z}-1)=\eta (z)/(2^{z}-2)$ mit der dirichletschen λ- und η-Funktion erhält man

$\zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n^{3}}}.$

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):

$\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {A(n)\cdot (2n+1)!^{3}\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{3}}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^{3}}}$

mit $A(n)=126392n^{5}+412708n^{4}+531578n^{3}+336367n^{2}+104000n+12463$ .

Nach Matyáš Lerch (1900):

$\zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}$

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:

$\zeta (3)={\frac {\pi ^{3}}{28}}+{\frac {16}{7}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{{\pi n}}+1)}}-{\frac {2}{7}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{{2\pi n}}+1)}}$

$\zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}-1)}}-37\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}+7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{4\pi n}-1)}}$

Weitere Formeln

Eine Verbindung zu den Primzahlen ist

$\zeta (3)=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-p^{-3}}}$

als Spezialfall des Euler-Produkts (Euler 1737).

Es gibt auch einige Integraldarstellungen, zum Beispiel:

$\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}{1-xyz}}$

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\mathrm {d} x$

$\zeta (3)={\frac {2}{3}}\pi ^{3}\int \limits _{0}^{1}x(x-{\frac {1}{2}})(x-1)\cot(\pi x)\mathrm {d} x$

Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:

$\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\psi _{2}(1)$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de